热门试卷

解：（1）以为原点，射线、、分别轴、轴、轴建立空间直角坐标系。                                 ……………………………1分

 则，，，，

，，，

，.

由，，

所以 ，，又∩,

所以       ………………7分

（2）由（1）知，平面的法向量就是，

设平面的法向量为，于是

，取，得 ,，，

设二面角的大小为，则

，所以。  …………13分

略

（Ⅰ）垂直.证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．又，因此．

因为平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，所以．

（Ⅱ）解：设，为上任意一点，连接．

由（Ⅰ）知平面，则为与平面所成的角．

在中，，所以当最短时，最大，

即当时，最大．

此时，

因此．又，所以，                             高#考#资#源#

所以．　

解法一：因为平面，平面，

所以平面平面．过作于，则平面，

过作于，连接，则为二面角的平面角，

在中，，，

又是的中点，在中，，

又，在中，，

即所求二面角的余弦值为．

解法二：由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，

∴，

，

所以．

设平面的一法向量为，则   

因此取，则，

因为，，，

所以平面，故为平面的一法向量．

又，所以．

因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．

略

解:(1)∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥CD

又∵CD⊥AD，AD∩PA=A

∴CD⊥平面PAD，即CD⊥平面PDM

∴

(2)过A作AF⊥DN于F,连结MF,

∵AF⊥DN,MA⊥DN,AF∩MA="A" ∴DN⊥面AFM

∴MF⊥DN, ∴∠MFA为二面角A-DN-M的平面角.

在中，

∴在中， 

略

（1）略

（2）

（Ⅰ）在中，，

在中，，

∵，∴．…………………………………………..2分

∵平面平面，且交线为，

∴平面．

∵平面，∴．………………………………………………6分

（Ⅱ）（法一）设与相交于点，由（Ⅰ）知，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面，且交线为，……………………………………7分

如图19-2，作，垂足为，则平面，连结，则是直线与平面所成的角．…………………………………………..9分

由平面几何的知识可知，∴．

在中，，

在中，，可求得．∴。

所以直线与平面所成角的正弦值为。　…………………………………………..14分

（法二）向量法（略）

证明：（1）连结AC交BD于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，

∴点O是AC的中点。

又∵E是PC的中点

∴在中，EO为中位线

∴PA∥EO。                                         …………………….3分

而EO平面EDB，PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB。                                    ……………………6分

（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。

∵底面ABCD是正方形，

∴DC⊥BC，

∴BC⊥平面PDC，而DE平面PDC，

∴BC⊥DE。①                                       ……………………8分

PD＝DC，E是PC的中点，

∴是等腰三角形，DE⊥PC。②                  ……………………10分

由①和②得DE⊥平面PBC。

而PB平面PBC，

∴DE⊥PB。                                        ……………………12分

又EF⊥PB且DEEF＝E，

∴PB⊥平面EFD。

略

（I）由题意 ，故 平面 ，所以 …5分

（II）由条件，如图建立坐标系，平面的法向量为 ，

设平面 的法向量为 ，又 ，

故有 ，

设二面角 的大小为 ，则  …………15分

略

略