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题型:简答题
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简答题

(本题满分12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与

底面三角形的各边长都等于a,点D为BC的中点.

求证:(1)平面AC1D⊥平面BCC1B1

(2)A1B∥平面AC1D.(3)求二面角C1-DA-C的大小.

正确答案

(Ⅰ)略   (Ⅱ) 略 (Ⅲ)

证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱BB1⊥平面ABC.

又BB1平面BCC1B1,∴侧面BCC1B1⊥平面ABC.在正三角形ABC中,

D为BC的中点,∴AD⊥BC.

由面面垂直的性质定理,得AD⊥平面BCC1B1.又AD平面AC1D,

∴平面AC1D⊥平面BCC1B1

(2)连A1C交AC1于点O,四边形ACC1A1是平行四边形,O是A1C的中点.又D是BC的中点,连OD,由三角形中位线定理,得A1B1∥OD.∵OD平面AC1D,A1B平面AC1D,∴A1B∥平面AC1D.……..8分

..12分

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题型:填空题
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填空题

圆锥的底面半径是3,高是4,则圆锥的侧面积是______.

正确答案

∵圆锥的底面半径r=3,高h=4,

∴圆锥的母线l=5

则圆锥的侧面积S=πrl=15π

故答案为:15π

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题型:简答题
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简答题

如图,在直三棱柱中,底面△为等腰直角三角形,为棱上一点,且平面⊥平面.

(Ⅰ)求证:为棱的中点;(Ⅱ)为何值时,二面角的平面角为.

正确答案

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

试题分析:(Ⅰ)先点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF,然后通过平面和平面垂直的性质定理及直三棱柱的定义可证EF∥AA1,又点F是AC的中点,则DB = BB1,即的中点;或者先证,再证. (Ⅱ)先在点D处建立空间直角坐标系,然后求出两平面DA1C和ADA1 的法向量分别为,由二面角的平面角为可知,得

据题意有:,从而 .或者利用几何法可求.

试题解析:(Ⅰ)过点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF

∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C,面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C

故直线                     3分

又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC,易知BF⊥AC,∴BF⊥面AA1C1C

由此知:DE∥BF ,从而有D,E,F,B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF ,从而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,所以DB = EF =  AA1 BB1,即的中点.             6分

(Ⅱ)解法1:建立如图所示的直角坐标系,

设AA1= 2b ,AB=BC = ,则D(0,0,b),  A1 (a,0,2b),  C (0,a,0) 

所以,

设面DA1C的法向量为

  可取                    8分

又可取平面AA1DB的法向量:

据题意有: 解得:                12分

(Ⅱ)解法2:延长A1 D与直线AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B,

过B作BH⊥A1 G于点H,连CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH,

由此知∠CHB为二面角A -A1D - C的平面角;                       9分

设AA1= 2b ,AB=BC =;在直角三角形A1A G中,易知AB = BG.

DBG中,BH =  = CHB中,tan∠CHB =  = ,据题意有: = tan600  ,解得:所以                12分

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)如图4,在三棱柱中,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,且侧棱,点的中点.

(1)求证:

(2)求证:平面

正确答案

(1)因为三棱柱是正三棱柱,所以平面

平面,所以,……………………………………… 2分

又点是棱的中点,且为正三角形,所以

因为,所以平面,………………………………4分

又因为平面,所以.………………………………7分]

(2)连接于点,再连接.………9分

因为四边形为矩形,

所以的中点,………………10分

又因为的中点,

所以.………………………12分

平面平面

所以平面.………………………………………………14

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题型:简答题
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简答题

(12分)平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、

AC、BC于E、F、G、H.CD=a,AB=b,CD⊥AB.

(1)求证EFGH为矩形;

(2)点E在什么位置,SEFGH最大?

正确答案

又∵AB⊥CDEF⊥FGEFGH为矩形.

(2)AG=x,AC=m,

  GH=x

 

=  GF=(m-x)

SEFGH=GH·GF=(m-x)

=(mx-x2)= (-x2+mx-+

=[-(x-2+

当x=时,SEFGH最大=·=

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题型:简答题
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简答题

在棱长为a的正方体ABCDABCD′中,EF分别是BCAD′的中点.

求证:四边形BEDF是菱形;

正确答案

证明见解析

证明:如上图所示,由勾股定理,得BE=ED=DF=FB′=a,下证B′、E

DF四点共面,取AD中点G,连结AGEG,由EGABAB′知,BEGA′是

平行四边形.∴BEAG,又AF DG,∴AGDF为平行四边形.

AGFD,∴B′、EDF四点共面

故四边形BEDF是菱形.

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题型:简答题
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简答题

如图,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,,是线段的中点.

(Ⅰ)求三棱锥的体积;

(Ⅱ)求证://平面;

(Ⅲ)求异面直线所成的角.

正确答案

;//平面;

(Ⅰ) 三棱锥的体积为       

(Ⅱ)证明:连接,,连接 

为中点,且为巨型,所以 

             

四边形为平行四边形,

,                 

     

                                          

(Ⅲ)过点,则为异面直线所成的角,       

为中点,所以点为线段的中点,,           

连接,过的中点,

,                         

中,, ,,

异面直线所成的角为                                 

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题型:简答题
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简答题

如图,四边形为矩形,平面⊥平面上的一点,且⊥平面

(1)求证:

(2)求证:∥平面

正确答案

(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析.

试题分析:本题主要考查空间两条直线的位置关系、直线与平面垂直和平行等基础知识,考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,利用平面与平面垂直的性质证明⊥平面,再利用直线与平面垂直的判定定理证明⊥平面,即可得证;第二问,利用线面平行的判定定理证明,利用中点,的中点,所以,即可.

试题解析:(1)证明:∵平面⊥平面,平面∩平面=

⊥平面

,则.             3分

⊥平面,则

=,∴⊥平面,∴.           7分

(2)设=,连接,易知的中点,

⊥平面,则

,∴中点.        10分

中,

平面平面

∥平面.               14分

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题型:简答题
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简答题

如图,已知四边形为梯形, ,四边形为矩形,且平面平面,点的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求证:平面平面

(Ⅲ)求三棱锥的体积.

正确答案

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)

试题分析:(Ⅰ)取中点,可以证明四边形为平行四边形,即,∴∥平面

(Ⅱ)证明平面即可;(Ⅲ)改变四面体(三棱锥)的顶点,取C即可;或者利用比例.

试题解析:(Ⅰ)取中点,连

为对角线的中点,∴,且

∴四边形为平行四边形,即;或者可以采用比例的方法求解.

又∵平面平面,∴∥平面.             4分

(Ⅱ)∵四边形为矩形,且平面平面,∴平面,∴

∵四边形为梯形,,且,∴

又在中,,且,∴,∴

于是在中,由及余弦定理,得

,∴.∴平面

又∵平面,∴平面平面.                   9分

(Ⅲ)作,垂足为,由平面平面平面

易求得,所以三棱锥的体积为

.       13分.

【法二】连接,则三点共线,故

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题型:简答题
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简答题

(12分)在平面α内有△ABC,在平面α外有点S,斜线SA⊥AC,SB⊥BC,且

斜线SA、SB与平面α所成角相等。

(1)求证:AC=BC

(2)又设点S到α的距离为4cm,AC⊥BC且AB=6cm,求S与AB的距离。

正确答案

(1)证明:过S作SO⊥面ABC于O

 

S到AB的距离为=5cm.

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