- 空间几何体的结构
- 共7713题
(本题满分12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与
底面三角形的各边长都等于a,点D为BC的中点.
求证:(1)平面AC1D⊥平面BCC1B1;
(2)A1B∥平面AC1D.(3)求二面角C1-DA-C的大小.
正确答案
(Ⅰ)略 (Ⅱ) 略 (Ⅲ)
证明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱BB1⊥平面ABC.
又BB1平面BCC1B1,∴侧面BCC1B1⊥平面ABC.在正三角形ABC中,
D为BC的中点,∴AD⊥BC.
由面面垂直的性质定理,得AD⊥平面BCC1B1.又AD平面AC1D,
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
(2)连A1C交AC1于点O,四边形ACC1A1是平行四边形,O是A1C的中点.又D是BC的中点,连OD,由三角形中位线定理,得A1B1∥OD.∵OD平面AC1D,A1B
平面AC1D,∴A1B∥平面AC1D.……..8分
..12分
圆锥的底面半径是3,高是4,则圆锥的侧面积是______.
正确答案
∵圆锥的底面半径r=3,高h=4,
∴圆锥的母线l=5
则圆锥的侧面积S=πrl=15π
故答案为:15π
如图,在直三棱柱中,底面△
为等腰直角三角形,
,
为棱
上一点,且平面
⊥平面
.
(Ⅰ)求证:为棱
的中点;(Ⅱ)
为何值时,二面角
的平面角为
.
正确答案
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)=
试题分析:(Ⅰ)先点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF,然后通过平面和平面垂直的性质定理及直三棱柱的定义可证EF∥AA1,又点F是AC的中点,则DB = BB1,即
为
的中点;或者先证
,再证
得
. (Ⅱ)先在点D处建立空间直角坐标系,然后求出两平面DA1C和ADA1 的法向量分别为
和
,由二面角
的平面角为
可知
,得
据题意有:,从而
=
.或者利用几何法可求.
试题解析:(Ⅰ)过点D作DE ⊥ A1 C 于E点,取AC的中点F,连BF ﹑EF
∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C,面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C
故直线面
3分
又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC,易知BF⊥AC,∴BF⊥面AA1C1C
由此知:DE∥BF ,从而有D,E,F,B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF ,从而有EF∥AA1,又点F是AC的中点,所以DB = EF = AA1=
BB1,即
为
的中点. 6分
(Ⅱ)解法1:建立如图所示的直角坐标系,
设AA1= 2b ,AB=BC = ,则D(0,0,b), A1 (a,0,2b), C (0,a,0)
所以,
设面DA1C的法向量为
则 可取
8分
又可取平面AA1DB的法向量:
据题意有: 解得:
=
12分
(Ⅱ)解法2:延长A1 D与直线AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B,
过B作BH⊥A1 G于点H,连CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH,
由此知∠CHB为二面角A -A1D - C的平面角; 9分
设AA1= 2b ,AB=BC =;在直角三角形A1A G中,易知AB = BG.
在DBG中,BH =
=
,
CHB中,tan∠CHB =
=
,据题意有:
= tan600 =
,解得:
所以
=
12分
(本小题满分14分)如图4,在三棱柱中,底面
是边长为2的正三角形,侧棱长为3,且侧棱
面
,点
是
的中点.
(1)求证:;
(2)求证:平面
.
正确答案
(1)因为三棱柱是正三棱柱,所以
平面
,
又平面
,所以
,……………………………………… 2分
又点是棱
的中点,且
为正三角形,所以
,
因为,所以
平面
,………………………………4分
又因为平面
,所以
.………………………………7分]
(2)连接交
于点
,再连接
.………9分
因为四边形为矩形,
所以为
的中点,………………10分
又因为为
的中点,
所以.………………………12分
又平面
,
平面
,
所以平面
.………………………………………………14
分
略
(12分)平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、
AC、BC于E、F、G、H.CD=a,AB=b,CD⊥AB.
(1)求证EFGH为矩形;
(2)点E在什么位置,SEFGH最大?
正确答案
又∵AB⊥CDEF⊥FGEFGH为矩形.
(2)AG=x,AC=m,
GH=x
= GF=(m-x)
SEFGH=GH·GF=x·(m-x)
=(mx-x2)= (-x2+mx-+
=[-(x-)2+]
当x=时,SEFGH最大=·=.
略
在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中,E、F分别是BC、A′D′的中点.
求证:四边形B′EDF是菱形;
正确答案
证明见解析
证明:如上图所示,由勾股定理,得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、
D、F四点共面,取AD中点G,连结A′G、EG,由EGAB
A′B′知,B′EGA′是
平行四边形.∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形.
∴A′G∥FD,∴B′、E、D、F四点共面
故四边形B′EDF是菱形.
如图,已知正方形和矩形
所在的平面互相垂直,
,
,
是线段
的中点.
(Ⅰ)求三棱锥的体积;
(Ⅱ)求证://平面
;
(Ⅲ)求异面直线与
所成的角.
正确答案
;
//平面
;
(Ⅰ) 三棱锥的体积为
(Ⅱ)证明:连接,
,连接
为中点,且
为巨型,所以
四边形
为平行四边形,
,
(Ⅲ)过点作
,则
为异面直线
与
所成的角,
为中点,所以点
为线段
的中点,
,
连接,过
作
为
的中点,
,
在中,
,
,
,
异面直线
与
所成的角为
如图,四边形为矩形,平面
⊥平面
,
,
为
上的一点,且
⊥平面
.
(1)求证:⊥
;
(2)求证:∥平面
.
正确答案
(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析.
试题分析:本题主要考查空间两条直线的位置关系、直线与平面垂直和平行等基础知识,考查学生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,利用平面与平面垂直的性质证明⊥平面
,再利用直线与平面垂直的判定定理证明
⊥平面
,即可得证;第二问,利用线面平行的判定定理证明,利用
是
中点,
是
的中点,所以
∥
,即可.
试题解析:(1)证明:∵平面⊥平面
,平面
∩平面
=
,
⊥
,
∴⊥平面
,
⊥
.
∵∥
,则
⊥
. 3分
又⊥平面
,则
⊥
.
∵∩
=
,∴
⊥平面
,∴
⊥
. 7分
(2)设∩
=
,连接
,易知
是
的中点,
∵⊥平面
,则
⊥
.
而,∴
是
中点. 10分
在中,
∥
,
∵平面
,
平面
,
∴∥平面
. 14分
如图,已知四边形为梯形,
,
,四边形
为矩形,且平面
平面
,
,点
为
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面平面
;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
正确答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ).
试题分析:(Ⅰ)取中点
,可以证明四边形
为平行四边形,即
,∴
∥平面
;
(Ⅱ)证明平面
即可;(Ⅲ)改变四面体(三棱锥)的顶点,取C即可;或者利用比例.
试题解析:(Ⅰ)取中点
,连
.
∵为对角线
的中点,∴
,且
,
∴四边形为平行四边形,即
;或者可以采用比例的方法求解.
又∵平面
,
平面
,∴
∥平面
. 4分
(Ⅱ)∵四边形为矩形,且平面
平面
,∴
平面
,∴
;
∵四边形为梯形,
,且
,∴
.
又在中,
,且
,∴
,
,∴
.
于是在中,由
,
,
及余弦定理,得
.
∴,∴
.∴
平面
,
又∵平面
,∴平面
平面
. 9分
(Ⅲ)作,垂足为
,由平面
平面
得
平面
.
易求得,所以三棱锥
的体积为
. 13分.
【法二】连接,则
、
、
三点共线,故
(12分)在平面α内有△ABC,在平面α外有点S,斜线SA⊥AC,SB⊥BC,且
斜线SA、SB与平面α所成角相等。
(1)求证:AC=BC
(2)又设点S到α的距离为4cm,AC⊥BC且AB=6cm,求S与AB的距离。
正确答案
(1)证明:过S作SO⊥面ABC于O
S到AB的距离为=5cm.
略
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