热门试卷

（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．

因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．                  2分

又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．          4分

而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．

E为PB上任意一点，DE平面PBD，所以AC⊥DE．             7分

（2）由（1）知平面，

                        14分

略

(1)略

(2)略

(3)

解：M、N、Q、B的位置如右图示。（正确标出给1分）

（1）∵ND//MB且ND=MB

∴四边形NDBM为平行四边形

∴MN//DB………………3分

∴BD平面PBD，MN

∴MN//平面PBD……………………4分

（2）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥QC……………………5分

又∵BD⊥AC，

∴BD⊥平面AQC…………………………6分

∵AQ面AQC

∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，

∵BDPD=B

∴AQ⊥面PDB……………………………8分

（3）解法1：分别取DB、MN中点E、F连结

PE、EF、PF………………9分

∵在正方体中，PB=PB

∴PE⊥DB……………………10分

∵四边形NDBM为矩形

∴EF⊥DB

∴∠PEF为二面角P—DB—M为平面角…………11分

∵EF⊥平面PMN

∴EF⊥PF

设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中

∵

∴

…………………………13分

解法2：设正方体的棱长为a，

以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图：

则点A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分

∴………………10分

∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB

∴分别为平面PDB、平面DBM的法向量……………………12分

∴

∴………………13分

在直角三角形BCE中，CE=

在正方形ABCD中，BG=，在直角三角形BFG中，---9分

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，

D到平面ACE的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，

线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离.

故D到平面的距离为.------------------------------13分

另法：用等体积法亦可。

解法二：（Ⅰ）同解法一. ----------------------------------- 4分

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为z轴，AB所在直线为x轴，过O点平行于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，

则

令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，   

∴二面角B—AC—E的正弦值为--------------------------------9分

略

（1）取OB中点E，连接ME，NE

又

 ……………………… 4分

（2）

为异面直线与所成的角（或其补角）

作连接

，

所以 与所成角的大小为        8分

（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作

 于点Q，

又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

，

，

所以点B到平面OCD的距离为       12分

方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)

设平面OCD的法向量为,则

即 取,解得

             4分

(2)设与所成的角为,

 , 与所成角的大小为         8分

(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为      12分

略