热门试卷

①AB是AC在平面β上的射影，由AC⊥BD得AB⊥BD．∵α⊥β．∴DB⊥α．

②由AB=AC，且E是BC中点，得AE⊥BC，又AE⊥DB，故AE⊥平面BCD，因此可证得平面AED⊥平面BCD．

③设F是AC中点，连BF，DF．由于△ABC是正三角形，故BF⊥AC．又由DB⊥平面α，则DF⊥AC，∠BFD是二面角B－AC－D的平面角，

在Rt△BFD中，．

(1)见解析

(2)

(3)

（1）设AC交BD于M，连接ME

∵面ABCD为正方形，∴M为AC的中点

又E为PA的中点，∴ME∥PC

∵ME面EBD，∴PC∥面EBD

（2）∵面ABCD为正方形, ∴BD⊥AC

∵AB=1,PA=2,∠PAB=600,∴在△PAB中,由余弦定理得

PB2=PA2+AB2-2AB·PAcos600=4+1-2×1×2×=3

∴PA2=PB2+AB2,即AB⊥PB

∵DA⊥面ABP,CB∥DA

∴CB⊥面ABPCB⊥PB ,∴PB⊥面ABCD,∴PB⊥MB,即MB为异面直线AC与PB间的垂线段

∵DB=

∴异面直线AC与PB间的距离为

（3）由（2）知，PB、BC、AB两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系,

则A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1),D(0,1,1)

∵E为PA的中点,∴E(,,0)

设面BED的法向量为n=(a,b,c)

则

令c=,则b=-,a=1n=(1,-,)

由（1）知，PC∥面EBD，所以C点到面EBD的距离与F点到面EBD的距离相等.

设向量n与向量所成的角为

则cos==

设C点到面EBD的距离为d

则d=DC×cos=

由题设条件可求得DE=DB=，BE=1

∴S△DEB=×1×=

∴VE-BDF=VF-EBD=VC-EBD=××=

这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5cm

 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.

∵A1B1="4" cm，AB="16" cm，

∴O1E1="2" cm，OE="8" cm，

O1B1=2 cm，OB=8 cm，

∴B1B2=O1O2+（OB-O1B1)2="361" cm2，

E1E2=O1O2+（OE-O1E1)2="325" cm2，

∴B1B="19" cm，E1E=5cm.

答 这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5cm.

三角形的面积为

如图所示，△ABE为题中的三角形，

由已知得AB=2，BE=2×=,

BF=BE=,AF===,

∴△ABE的面积为

S=×BE×AF=××=.

∴所求的三角形的面积为.

（Ⅰ）略（Ⅱ）

以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z建立空间直角坐标系D—xyz如图，则有，

     （3分）

（1）证明：设连结D1、E，则有

．所以B1B//D1E．

；       （6分）

（2）解：设，

                            （8分）

同理可以求得平面D1AC的一个法向量m=（1，1，1）．               （10分）

     （12分）