热门试卷

（Ⅰ）在梯形中，由，，得，

∴．又，故为等腰直角三角形.

∴.

连接，交于点，则 

∥平面,又平面,∴.

在中，，

即时，∥平面.            6分

（Ⅱ）方法一：在等腰直角中，取中点，连结，则．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面．

在平面内，过作直线于，连结，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．           

在中，设，则，

，，

，

由，可知：∽，∴，

代入解得：．

在中，，∴，

．

∴二面角的余弦值为．              12分

方法二：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．

设，则，，，，．

设为平面的一个法向量，则，，∴，解得，∴．          

设为平面的一个法向量，则，，

又，，∴，解得

∴．

∴二面角的余弦值为．             12分

略

解：

（Ⅰ）取的中点，连结，

因为是等边三角形，所以．

当平面平面时，

因为平面平面，

所以平面，

可知

由已知可得，

在中，．

（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．

证明：

（ⅰ）当在平面内时，因为，

所以都在线段的垂直平分线上，即．

（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．

又因，所以．

又为相交直线，

所以平面，

由平面，得．

综上所述，总有．

略

（1）略

（2）略

（3）

（Ⅰ）证明：平面平面，交线为

∴           ----------2分

∴

又

∴           --------4分

（Ⅱ）证明：连结，则是的中点

∴中，         ---------------6分

又

∴

∴平面              -------------8分

（Ⅲ）解：设中边上的高为

依题意：

∴

即：点到平面的距离为 ---------------10分

∴     -----------------13分

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ．

试题分析：（Ⅰ）证明：，证明两线垂直，只需证一线垂直另一线所在的平面，因此本题的关键是找平面，注意到过的线中，可考虑连接，看是否垂直平面,因此本题转化为只要证明即可，由平面几何知识易证；（Ⅱ）求棱锥的体积，直接求，底面面积及高都不好求，但注意到棱锥与棱锥是一个几何体，而这个棱锥的高为，而的面积，故体积容易求，值得注意的是，当一个几何体的体积不好求是，可进行转化成其它几何体来求．

试题解析：（Ⅰ）证：连接，交于点，∵平面，平面,∴，

∵点，分别是，　的中点，　∴，　又∵，，∴≌，∴，又∵,∴，

∴，即，又∵,∴平面,

又∵平面,∴；

（Ⅱ）解：∵平面，∴是三棱锥的高，且，

∵点，分别是，的中点，∴，∴，∴

(1)详见解析；（2）.

试题分析：(1)由可得平面；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用求解，注意坐标系的建立须准确，点、线的坐标表示正确.

试题解析：（1）∵点在底面上的射影落在上，∴平面，

平面，∴又∵∴，，

∴平面．    4分

（2）∵平面 ∴  即

以为原点，为x轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，

建立空间直角坐标系，则，，，，

．显然，平面的法向量．    7分

设平面的法向量为，

由，即，

          10分 

∴，    

∴二面角的大小是．      12分

（1）；（2）略；（3）。

试题分析：（1）因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．

故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．

因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．

在Rt△CDE中，CD=1，ED=2， CE==3，故cos∠CED==．

所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为。

（2）证明：过点B作BG∥CD，交AD于点G，

则∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，

从而CD⊥AB，又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；

（3）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点．

取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF，

因为BC∥AD，所以BC∥EF．

过点N作NM⊥EF，交BC于M，

则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角．

连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．

从而BC⊥GM．由已知，可得GM=．

由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．

在Rt△NGM中，tan∠GNM=，

所以二面角B-EF-A的正切值为．

点评：中档题，立体几何问题的解法，要牢记“转化与化归思想”，空将间题转化成平面问题.立体几何中的计算问题，要注意遵循“一作，二证，三计算”，避免出现只算不证的错误。

(1)见解析   (2)

（1）利用直线与平面平行的判定证明线面平行；（2）根据条件建立空间直角坐标系，然后求出两个面的法向量，根据法向量的夹角求出二面角

（1）证明：，所以延长会相交，

设，则，，

所以四边形是平行四边形，

，又平面

平面；……………………6分

（2）设的中点为，，则且，

又，平面，，

平面.………………………………………………………………8分

如图：以点为原点，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系。则平面的法向量为，点的坐标分别为，，，………………10分

设平面的法向量，则，

令，则，，即，，

平面与平面夹角的余弦值为.…………………………………12分