热门试卷

（1）  略

（2）  

（3）  

解法（一）

（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E

（2）（2）

（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，

∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（3）设平面D1EC的法向量，∴

由 令b="1," ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.

（1）（2）

解法一：（1）等体积法．

取CD中点O，连OB，OM，则OB=OM=，OB⊥CD，MO⊥CD．

又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，MO∥平面ABC．M、O到平面ABC的距离相等．

作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC．

求得OH=OC•=，

MH=．

设点到平面的距离为d，由得．

即，

解得．

（2）延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面与平面的交线．

由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.

因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

，

，.

则所求二面角的正弦值为

解法二：取CD中点O，连OB，OM，则

OB⊥CD，OM⊥CD．又平面平面,则MO⊥平面.

取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．OB=OM=，则各点坐标分别为C（1，0，0），M（0，0，），B（0，，0），A（0，-，）.

（1）设是平面MBC的法向量，则,.

由得；

由得．

取．，则

．

（2），.

设平面ACM的法向量为，由得解得，，取.又平面BCD的法向量为.

所以，

设所求二面角为，则.

（1）略（2）（3）

（Ⅰ）证明：连结交于，连结 ， 

，

，                               ………… 1分

，

，

 ，                               ………… 3分

，

.                          ………… 4分

（Ⅱ）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，        

则，，，，

，，,

,                               

………………………5分

,     

………………………7分

异面直线与所成角的余弦值为 .                                         ………………………8分

（Ⅲ）侧棱,

,                                                ………………………9分

设的法向量为,

，并且,

，令得，,

的一个法向量为       .                                               ………………………11分

,                                                                   ………………………13分

由图可知二面角的大小是锐角,

二面角大小的余弦值为  .                                                .…………………14分

解法1（向量法）：

以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则有．

（Ⅰ）证明：

．

．

与平行，与平行，

于是与共面，与共面．

（Ⅱ）证明：，

，

，．

与是平面内的两条相交直线．

平面．

又平面过．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

．

二面角的大小为．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

设分别为的中点，连结，

有．

，

于是．

由，得，

故，与共面．

过点作平面于点，

则，连结，

于是，，．

，．

，．

所以点在上，故与共面．

（Ⅱ）证明：平面，，

又（正方形的对角线互相垂直），

与是平面内的两条相交直线，

平面．

又平面过，平面平面．

（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，

根据三垂线定理，有．

过点在平面内作于，连结，

则平面，

于是，

所以，是二面角的一个平面角．

根据勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小为．

（1）证法一：连接AC．

因为四边形ABCD为矩形，所以AC过点O，且O为AC的中点．

又因为点E为PC的中点，所以EO//PA．

因为PAÌ平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD．

证法二：取DC中点F，连接EF、OF．

因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EF//PD，OF//BC．

在矩形ABCD中，AD//BC，所以OF//AD．

因为OF平面PAD，ADÌ平面PAD，所以OF//平面PAD．

同理，EF//平面PAD．

因为OF∩EF＝F，OF、EFÌ平面EOF，所以平面EOF//平面PAD．

因为EOÌ平面OEF，所以EO∥平面PAD．

证法三：分别取PD、AD中点M、N，连接EM、ON、MN．

因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EM,\d\fo(＝CD，ON,\d\fo(＝AB．

在矩形ABCD中，AB,\d\fo(＝CD，所以EM,\d\fo(＝ON．

所以四边形EMNO是平行四边形．所以EO//MN．

因为MNÌ平面PAD，EO平面PAD，所以EO∥面PAD．

（2）证法一：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CDÌ平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD．

又因为CDÌ平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．

证法二：在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F．

因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD．

因为CDÌ平面ABCD，所以PF⊥CD．

因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．

因为PF∩AD＝F，所以CD⊥平面PAD．

又因为CDÌ平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD．

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略