热门试卷

（1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，       

∴ ∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴ tan∠PAO=．        

设AB=1，则PO=AOtan∠PAO =．    

设F为AD中点，连FO、PF，

易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PAO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角．

在Rt中，，

∴，即侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为；

（2）连结EO，由于O为BD中点，E为PD中点，所以  ．

∴ 就是异面直线PD与AE所成的角．                      

在Rt中，．∴．      

由，可知面．所以，       

在Rt中，，

即异面直线PD与AE所成角的正切值为．

略

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ） 点为的中点

 (1) 如图建立空间直角坐标系.

设，连结，则…………2分

　　∴又 ，

∴…………4分

∴   且与不共线，

∴∥,又平面,平面，

∴∥平面.    …………6分

(2) 设 ，

则＝， ＝.又∵与所成的角为60°，… 8分

，………… 9分

解之得(舍去)，…………11分

故点为的中点. …………12分

.(1)三个直二面角

(2)由已知得,设则

过C作于H,,

则就是AC与平面ABD所成的角,可得

(3),过B作于F,则,过B在内作于E，连EF，则，则就是二面角的平面角，可求得

略

（1）证明略

（2）证明略

（1）据题意A1C1=B1C1,

且D为A1B1中点

∴C1D⊥A1B1, 又BB1⊥面A1B1C1, C1D 面A1B1C1，

∴BB1⊥C1D, ∴ C1D⊥面A1ABB1,…………2分

又C1D 面AC1D

∴面AC1D⊥平面A1ABB1………………………4分

（2）由（1）知C1D⊥面A1ABB1,

∴∠C1AD为AC1与平面A1ABB1所成的角……6分

设AC=CB=1,AA1=x,则AC1=,C1D=

sin∠C1AD=, ∴x="2.  "  …………………8分

又因为AC、CB、CC1两两互相垂直，所以可建立如图所示的坐标系：

取面A1C1A的法向量为，设面ADC1的法向量为，又C1(0,0,2),A(1,0,0),D(1/2,1/2,2),

∴,,="0," ∴x-2z=0

="0" ,∴x+y="0" , 取z=1,则x=2,y=-2, ∴

 ………………………………11分

又D在面A1AC1上的射影为A1C1的中点，故二面角D- AC1-A1为锐角，

设为 ，所以  …………………………………………12分

略

略

（1）在等腰梯形中，………3分

又底面ABCD，面面ABCD，面CDE

面ACH，面面CDE………………………………………………6分

（2）过G作GN//BC且GN=BC，则面GFN//面ABC,且梯形GEFN与梯形ABCD全等，

则二面角B-FG-N的正切值即为所求………………………………………………….9分

取FG的中点O，连结NO,BO,.

是等腰三角形，

由三垂线定理知即为所求二面角的平面角……………………12分

在等腰三角形NFG中，故所求锐二面角的正切值为2。………  13分

（1）  略

（2）  

（3）  棱SC上存在一点E

解法一：

（1）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.

(2)设正方形边长，则。

又，所以,

连，由（1）知,所以,

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小为。

（3）在棱SC上存在一点E，使

由（2）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解法二：（1）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。

设底面边长为，则高。

于是         

    故  从而  

(2)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为

（3）在棱上存在一点使.

由（2）知是平面的一个法向量，

且  

设    

则     

而      

即当时，    

而不在平面内，故

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）延长交的延长线于点，由得

延长交的延长线于

同理可得

故，即与重合

因此直线相交于点，即四点共面。

（Ⅱ）设，则，

取中点，则，又由已知得，平面

故，与平面内两相交直线都垂直。

所以平面，作，垂足为，连结

由三垂线定理知为二面角的平面角。

故

所以二面角的大小

解法二：由平面平面，，得平面，以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系。

（Ⅰ）设，则

　　，

，

故，从而由点，得，

故四点共面。

（Ⅱ）设，则，

，

在上取点，使，则，

从而，

又，

在上取点，使，则，

从而。

故与的夹角等于二面角的平面角，

　　，

所以二面角的大小。