热门试卷

（Ⅰ）由余弦定理可得BC1＝

利用BC2＋BC12＝CC12得C1B⊥CB，

又平面A1B1C1∥平面ABC 得到 C1B⊥平面A1B1C1.

（Ⅱ）;

（Ⅲ）二面角的正切值为.

试题分析：（Ⅰ）证明：∵BC＝2，CC1＝4，∠BCC1＝60°由余弦定理可得BC1＝

∴BC2＋BC12＝CC12  ∴∠CBC1＝90° ∴C1B⊥CB             2分

又AB⊥面BB1C1C ∴C1B⊥AB，AB∩CB＝B ∴C1B⊥平面ABC，

又平面A1B1C1∥平面ABC  ∴ C1B⊥平面A1B1C1             4分

（Ⅱ）∵平面A1B1C1∥平面ABC      

∴A1B与平面ABC所成的角等于A1B与平面A1B1C1所成的角            5分

由（Ⅰ）知C1B⊥平面ABC  ∴C1B⊥平面A1B1C1    

∴∠BA1C1即为A1B与平面A1B1C1所成的角               6分

∠BC1 A1＝90° A1C1 ∴         8分

（Ⅲ）CE＝BC＝2，∠BCE＝60° ∴BE＝2 ∠EC1B1＝120°  C1E＝C1B1＝2 ∴EB1

∴BE2＋B1E2＝B1B2  ∴∠BEB1＝90°即B1E⊥BE  又AB⊥平面BCC1B1

∴B1E⊥AE   ∴∠AEB为二面角A—EB1—B的平面角          9分

              10分

又∵A1B1⊥平面B1EB    ∴平面A1B1E⊥平面B1EB

∴二面角A—EB1—A1的大小为＝90°－∠AEB                 11分

即所求二面角的正切值为               13分

解法二：易知，面，，面，

∴异面直线与所成角即为所求二面角的大小.        10分

∵∴即为异面直线与所成角，        11分

易得，即所求二面角的正切值为           13分

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。

解：以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则.………2分

（1）.

则……4分

，即异面直线与所成的角为．…………7分

（2）假设线段上存在一点，使，设.

设，则，即，

.…………8分

.

，，，即.

即线段上存在一点，使得，且.………14分

略

证明：（Ⅰ）直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．……2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC．………… 5分[

又，平面BB1C1C， AC⊥平面BB1C1C．…………7分

（Ⅱ）证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝AB．…………2分

又∵DC‖AB，DC＝AB,DC ∥PB1,且DC＝ PB1,…4分

∴DC B1P为平行四边形，从而CB1∥DP．   

又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP‖面ACB1…6分

同理，DP‖面BCB1．  …………7分

(注：第(Ⅰ)问7分，第（Ⅱ）问7分)

略

（1）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）

（－2，2，2），（2，2，0）（－2，2，2）（2，2，0）＝0，

∴ 

（另解）作DH⊥EF于H，连BH，GH，由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，

BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。           4分

（2）∵AD∥面BFC，所以VA-BFC＝＝4(4-x)x

即时有最大值为。     8分

（3）设平面DBF的法向量为，∵AE="2," B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,则 ，即，

取x＝3，则y＝2，z＝1，∴ 面BCF的一个法向量为    则cos<>= 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－         

（另解）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。又DH＝2，∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝， 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，

故二面角D-BF-C的余弦值为－。      12分

略

（Ⅰ）；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）根据异面直线所成角的定义可过点作//交于，则（或其补角）就是异面直线与所成的角. 因为//且//,则四边形为平行四边形，则，，故可在中用余弦定理求。（Ⅱ）由可得，过作，为垂足。易得证平面，可得，从而易得证//，可得，即可求的值。

试题解析：（Ⅰ）

在平面内，过点作//交于，连结，则（或其补角）就是异面直线与所成的角.

在中，

由余弦定理得，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

（Ⅱ）

在平面内，过作，为垂足，连结，又因为

∴平面， ∴

由平面平面，∴平面 ∴//

由得，∴

，∴.

(1)见解析；（2）.

本试题主要是考查了线面角的求解，以及线面平行的判定定理的运用。

（1）利用线面平行的判定定理，先确定线线平行，然后利用定理得到。

（（2）建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标，利用法向量和斜向量来得到线面角的求解的综合运用。

（1）找BC中点G点，连接AG，FG

F，G分别为DC,BC中点

//AG

//平面ABC                    ………．4分

（2）因为面，∥

DB⊥平面ABC

又∵DB平面

平面ABC⊥平面

又∵G为 BC中点且AC=AB=BC

AG⊥BC

AG⊥平面,

又∵

平面 ………………………．8分

（3）过C作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE且CH=

…………12分

略