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题型:简答题
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简答题

如图,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,BC=2,BB1=4,AB=,∠BCC1=60°.

(Ⅰ)求证:C1B⊥平面A1B1C1

(Ⅱ)求A1B与平面ABC所成角的正切值;

(Ⅲ)若E为CC1中点,求二面角A—EB1—A1的正切值.

正确答案

(Ⅰ)由余弦定理可得BC1

利用BC2+BC12=CC12得C1B⊥CB,

又平面A1B1C1∥平面ABC 得到 C1B⊥平面A1B1C1.

(Ⅱ);

(Ⅲ)二面角的正切值为.

试题分析:(Ⅰ)证明:∵BC=2,CC1=4,∠BCC1=60°由余弦定理可得BC1

∴BC2+BC12=CC12  ∴∠CBC1=90° ∴C1B⊥CB             2分

又AB⊥面BB1C1C ∴C1B⊥AB,AB∩CB=B ∴C1B⊥平面ABC,

又平面A1B1C1∥平面ABC  ∴ C1B⊥平面A1B1C            4分

(Ⅱ)∵平面A1B1C1∥平面ABC      

∴A1B与平面ABC所成的角等于A1B与平面A1B1C1所成的角            5分

由(Ⅰ)知C1B⊥平面ABC  ∴C1B⊥平面A1B1C1    

∴∠BA1C1即为A1B与平面A1B1C1所成的角               6分

∠BC1 A1=90° A1C1 ∴         8分

(Ⅲ)CE=BC=2,∠BCE=60° ∴BE=2 ∠EC1B1=120°  C1E=C1B1=2 ∴EB1

∴BE2+B1E2=B1B2  ∴∠BEB1=90°即B1E⊥BE  又AB⊥平面BCC1B1

∴B1E⊥AE   ∴∠AEB为二面角A—EB1—B的平面角          9分

              10分

又∵A1B1⊥平面B1EB    ∴平面A1B1E⊥平面B1EB

∴二面角A—EB1—A1的大小为=90°-∠AEB                 11分

即所求二面角的正切值为               13分

解法二:易知

∴异面直线所成角即为所求二面角的大小.        10分

即为异面直线所成角,        11分

易得,即所求二面角的正切值为           13分

点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想,将空间问题转化成平面问题。

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题型:简答题
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简答题

20.(本小题满分14分)

四棱锥中,侧棱,底面是直角梯形,,且的中点.

(1)求异面直线所成的角;

(2)线段上是否存在一点,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

解:以为坐标原点,分别以轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,则.………2分

(1).

……4分

,即异面直线所成的角为.…………7分

(2)假设线段上存在一点,使,设.

,则,即

.…………8分

.

,即.

即线段上存在一点,使得,且.………14分

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题型:简答题
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简答题

.(本小题满分14分)

直棱柱中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,

(Ⅰ) 求证:AC⊥平面BB1C1C

(Ⅱ)若P为A1B1的中点,求证:DP∥平面BCB1,且DP∥平面ACB1

正确答案

证明:(Ⅰ)直棱柱中,BB1⊥平面ABCD,BB1⊥AC.……2分

∠BAD=∠ADC=90°,

,∠CAB=45°,∴ BC⊥AC.………… 5分[

平面BB1C1C, AC⊥平面BB1C1C.…………7分

(Ⅱ)证明:由P为A1B1的中点,有PB1‖AB,且PB1=AB.…………2分

又∵DC‖AB,DC=AB,DC ∥PB1,且DC= PB1,…4分

∴DC B1P为平行四边形,从而CB1∥DP.   

又CB1面ACB1,DP 面ACB1,DP‖面ACB1…6分

同理,DP‖面BCB1.  …………7分

(注:第(Ⅰ)问7分,第(Ⅱ)问7分)

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)

已知梯形中,

分别是上的点,的中点。沿将梯形翻折,使平面⊥平面 (如图) .

(Ⅰ)当时,求证: ;

(Ⅱ)以为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;

(Ⅲ)当取得最大值时,求钝二面角的余弦值.

正确答案

(1)∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0)

(-2,2,2),(2,2,0)(-2,2,2)(2,2,0)=0,

 

(另解)作DH⊥EF于H,连BH,GH,由平面平面知:DH⊥平面EBCF,

而EG平面EBCF,故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH,

BHDH=H,故EG⊥平面DBH,而BD平面DBH,∴ EG⊥BD。           4分

(2)∵AD∥面BFC,所以VA-BFC4(4-x)x

有最大值为。     8分

(3)设平面DBF的法向量为,∵AE="2," B(2,0,0),D(0,2,2),

F(0,3,0),∴(-2,2,2),则 ,即

取x=3,则y=2,z=1,∴ 面BCF的一个法向量为    则cos<>= 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为-         

(另解)作DH⊥EF于H,作HM⊥BF,连DM。由三垂线定理知 BF⊥DM,∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。由△HMF∽△EBF,知,而HF=1,BE=2,,∴HM=。又DH=2,∴在Rt△HMD中,tan∠DMH=-,因∠DMH为锐角,∴cos∠DMH=, 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角,

故二面角D-BF-C的余弦值为-。      12分

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题型:填空题
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填空题

一个横放的圆柱形水桶,桶内的水占底面周长的四分之一,那么当桶直立时,水的高度与桶的高度的比为______.

正确答案

横放时水桶底面在水内的面积为πR2-R2.V=(πR2-R2)h,直立时V=πR2x,∴x:h=(π-2):4π

故答案为:(π-2):4π

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)已知四棱锥P—GBCD中(如图),PG⊥平面GBCD,GD∥BC,GD=BC,且BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点,PG=4

(Ⅰ)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;

(Ⅱ)若F点是棱PC上一点,且,求的值.

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ)

试题分析:(Ⅰ)根据异面直线所成角的定义可过点作//,则(或其补角)就是异面直线所成的角. 因为////,则四边形为平行四边形,则,故可在中用余弦定理求。(Ⅱ)由可得,过为垂足。易得证平面,可得,从而易得证//,可得,即可求的值。

试题解析:(Ⅰ)

在平面内,过点作//,连结,则(或其补角)就是异面直线所成的角.

中,

由余弦定理得,

∴异面直线所成角的余弦值为.

(Ⅱ)

在平面内,过为垂足,连结,又因为

平面 ∴

由平面平面,∴平面 ∴//

,∴

,∴.

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题型:填空题
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填空题

如图,圆锥形封闭容器,高为h,圆锥内水面高为若将圆锥倒置后,圆锥内水面高为

正确答案

试题分析:圆锥正置与倒置时,水的体积不变,另外水面是平行于底面的平面,此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体,它们的体积之比为对应高的立方比.

试题解析:圆锥内水面高为满足

两个圆锥体积之比为

即水的体积与容器体积之比为

倒置后

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)如图,直三棱柱中,分别为的中点,,二面角的大小为.

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)求与平面所成的角的大小.

正确答案

(1)见解析;(2).

本试题主要是考查了线面角的求解,以及线面平行的判定定理的运用。

(1)利用线面平行的判定定理,先确定线线平行,然后利用定理得到。

((2)建立空间直角坐标系,然后表示出点的坐标,利用法向量和斜向量来得到线面角的求解的综合运用。

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)如图,在多面体ABDEC中,AE平面ABC,BD//AE,且AC=AB=BC=AE=1,BD=2,F为CD中点。

(I)求证:EF//平面ABC;

(II)求证:平面BCD;

(III)求多面体ABDEC的体积。

正确答案

(1)找BC中点G点,连接AG,FG

F,G分别为DC,BC中点

//AG

//平面ABC                    ……….4分

(2)因为

DB⊥平面ABC

又∵DB平面

平面ABC⊥平面

又∵G为 BC中点且AC=AB=BC

AG⊥BC

AG⊥平面,

又∵

平面 ……………………….8分

(3)过C作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE且CH=

…………12分

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题型:填空题
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填空题

球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为      。

正确答案

本题考查圆锥及其外接球鞋的体积。

分两种情形:

情形之一:如图,圆锥顶点和底面在球心的同侧,设球心为,圆锥顶点,连结交底面于点.设球的半径为,则,在中, ,所以,圆锥的高,所以圆锥的体积,球的体积为,所以圆锥的体积和此球体积的比值为

情形之一:如图,圆锥顶点和底面在球心的异侧,设球心为,圆锥顶点,连结交底面于点.设球的半径为,则,在中, ,所以,圆锥的高,所以圆锥的体积,球的体积为,所以圆锥的体积和此球体积的比值为

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