- 空间几何体的结构
- 共7713题
如图,在斜三棱柱ABC—A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,BC=2,BB1=4,AB=,∠BCC1=60°.
(Ⅰ)求证:C1B⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求A1B与平面ABC所成角的正切值;
(Ⅲ)若E为CC1中点,求二面角A—EB1—A1的正切值.
正确答案
(Ⅰ)由余弦定理可得BC1=
利用BC2+BC12=CC12得C1B⊥CB,
又平面A1B1C1∥平面ABC 得到 C1B⊥平面A1B1C1.
(Ⅱ);
(Ⅲ)二面角的正切值为.
试题分析:(Ⅰ)证明:∵BC=2,CC1=4,∠BCC1=60°由余弦定理可得BC1=
∴BC2+BC12=CC12 ∴∠CBC1=90° ∴C1B⊥CB 2分
又AB⊥面BB1C1C ∴C1B⊥AB,AB∩CB=B ∴C1B⊥平面ABC,
又平面A1B1C1∥平面ABC ∴ C1B⊥平面A1B1C1 4分
(Ⅱ)∵平面A1B1C1∥平面ABC
∴A1B与平面ABC所成的角等于A1B与平面A1B1C1所成的角 5分
由(Ⅰ)知C1B⊥平面ABC ∴C1B⊥平面A1B1C1
∴∠BA1C1即为A1B与平面A1B1C1所成的角 6分
∠BC1 A1=90° A1C1 ∴
8分
(Ⅲ)CE=BC=2,∠BCE=60° ∴BE=2 ∠EC1B1=120° C1E=C1B1=2 ∴EB1
∴BE2+B1E2=B1B2 ∴∠BEB1=90°即B1E⊥BE 又AB⊥平面BCC1B1
∴B1E⊥AE ∴∠AEB为二面角A—EB1—B的平面角 9分
10分
又∵A1B1⊥平面B1EB ∴平面A1B1E⊥平面B1EB
∴二面角A—EB1—A1的大小为=90°-∠AEB 11分
即所求二面角的正切值为 13分
解法二:易知,
面
,
,
面
,
∴异面直线与
所成角即为所求二面角的大小. 10分
∵∴
即为异面直线
与
所成角, 11分
易得,即所求二面角的正切值为
13分
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想,将空间问题转化成平面问题。
20.(本小题满分14分)
四棱锥中,侧棱
,底面
是直角梯形,
,且
,
是
的中点.
(1)求异面直线与
所成的角;
(2)线段上是否存在一点
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
解:以为坐标原点,分别以
为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系,则
.………2分
(1).
则……4分
,即异面直线
与
所成的角为
.…………7分
(2)假设线段上存在一点
,使
,设
.
设,则
,即
,
.…………8分
.
,
,
,即
.
即线段上存在一点
,使得
,且
.………14分
略
.(本小题满分14分)
直棱柱中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,
.
(Ⅰ) 求证:AC⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)若P为A1B1的中点,求证:DP∥平面BCB1,且DP∥平面ACB1.
正确答案
证明:(Ⅰ)直棱柱中,BB1⊥平面ABCD,
BB1⊥AC.……2分
又∠BAD=∠ADC=90°,
,
∴,∠CAB=45°,∴
,
BC⊥AC.………… 5分[
又,
平面BB1C1C,
AC⊥平面BB1C1C.…………7分
(Ⅱ)证明:由P为A1B1的中点,有PB1‖AB,且PB1=
AB.…………2分
又∵DC‖AB,DC=AB,
DC ∥PB1,且DC= PB1,…4分
∴DC B1P为平行四边形,从而CB1∥DP.
又CB1面ACB1,DP
面ACB1,
DP‖面ACB1…6分
同理,DP‖面BCB1. …………7分
(注:第(Ⅰ)问7分,第(Ⅱ)问7分)
略
(本小题满分12分)
已知梯形中,
∥
,
,
,
、
分别是
上的点,
∥
,
,
是
的中点。沿
将梯形
翻折,使平面
⊥平面
(如图) .
(Ⅰ)当时,求证:
;
(Ⅱ)以为顶点的三棱锥的体积记为
,求
的最大值;
(Ⅲ)当取得最大值时,求钝二面角
的余弦值.
正确答案
(1)∵平面平面
,AE⊥EF,∴AE⊥面平面
,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0)
(-2,2,2),
(2,2,0)
(-2,2,2)
(2,2,0)=0,
∴
(另解)作DH⊥EF于H,连BH,GH,由平面平面
知:DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH,
BHDH=H,故EG⊥平面DBH,而BD
平面DBH,∴ EG⊥BD。 4分
(2)∵AD∥面BFC,所以VA-BFC=
=
4
(4-x)
x
即
时
有最大值为
。 8分
(3)设平面DBF的法向量为,∵AE="2," B(2,0,0),D(0,2,2),
F(0,3,0),∴(-2,2,2),则
,即
,
取x=3,则y=2,z=1,∴ 面BCF的一个法向量为
则cos<
>=
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为-
(另解)作DH⊥EF于H,作HM⊥BF,连DM。由三垂线定理知 BF⊥DM,∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。由△HMF∽△EBF,知,而HF=1,BE=2,
,∴HM=
。又DH=2,∴在Rt△HMD中,tan∠DMH=-
,因∠DMH为锐角,∴cos∠DMH=
, 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角,
故二面角D-BF-C的余弦值为-。 12分
略
一个横放的圆柱形水桶,桶内的水占底面周长的四分之一,那么当桶直立时,水的高度与桶的高度的比为______.
正确答案
横放时水桶底面在水内的面积为πR2-
R2.V水=(
πR2-
R2)h,直立时V水=πR2x,∴x:h=(π-2):4π
故答案为:(π-2):4π
(本小题满分14分)已知四棱锥P—GBCD中(如图),PG⊥平面GBCD,GD∥BC,GD=BC,且BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点,PG=4
(Ⅰ)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;
(Ⅱ)若F点是棱PC上一点,且,
,求
的值.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
试题分析:(Ⅰ)根据异面直线所成角的定义可过点作
//
交
于
,则
(或其补角)就是异面直线
与
所成的角. 因为
//
且
//
,则四边形
为平行四边形,则
,
,故可在
中用余弦定理求
。(Ⅱ)由
可得
,过
作
,
为垂足。易得证
平面
,可得
,从而易得证
//
,可得
,即可求
的值。
试题解析:(Ⅰ)
在平面内,过
点作
//
交
于
,连结
,则
(或其补角)就是异面直线
与
所成的角.
在中,
由余弦定理得,
∴异面直线与
所成角的余弦值为
.
(Ⅱ)
在平面内,过
作
,
为垂足,连结
,又因为
∴平面
,
∴
由平面平面
,∴
平面
∴
//
由得
,∴
,∴
.
如图,圆锥形封闭容器,高为h,圆锥内水面高为若将圆锥倒置后,圆锥内水面高为
正确答案
试题分析:圆锥正置与倒置时,水的体积不变,另外水面是平行于底面的平面,此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体,它们的体积之比为对应高的立方比.
试题解析:圆锥内水面高为
满足
两个圆锥体积之比为
即水的体积与容器体积之比为
倒置后
(本小题满分12分)如图,直三棱柱中,
,
分别为
的中点,
,二面角
的大小为
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求与平面
所成的角的大小.
正确答案
(1)见解析;(2).
本试题主要是考查了线面角的求解,以及线面平行的判定定理的运用。
(1)利用线面平行的判定定理,先确定线线平行,然后利用定理得到。
((2)建立空间直角坐标系,然后表示出点的坐标,利用法向量和斜向量来得到线面角的求解的综合运用。
(本小题满分12分)如图,在多面体ABDEC中,AE平面ABC,BD//AE,且AC=AB=BC=AE=1,BD=2,F为CD中点。
(I)求证:EF//平面ABC;
(II)求证:平面BCD;
(III)求多面体ABDEC的体积。
正确答案
(1)找BC中点G点,连接AG,FG
F,G分别为DC,BC中点
//AG
//平面ABC ……….4分
(2)因为面
,
∥
DB⊥平面ABC
又∵DB平面
平面ABC⊥平面
又∵G为 BC中点且AC=AB=BC
AG⊥BC
AG⊥平面
,
又∵
平面
……………………….8分
(3)过C作CH⊥AB,则CH⊥平面ABDE且CH=
…………12分
略
球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为 。
正确答案
本题考查圆锥及其外接球鞋的体积。
分两种情形:
情形之一:如图,圆锥顶点和底面在球心的同侧,设球心为
,圆锥顶点
,连结
交底面于点
.设球的半径为
,则
,在
中,
,所以
,圆锥的高
,所以圆锥的体积
,球的体积为
,所以圆锥的体积和此球体积的比值为
情形之一:如图,圆锥顶点和底面在球心的异侧,设球心为
,圆锥顶点
,连结
交底面于点
.设球的半径为
,则
,在
中,
,所以
,圆锥的高
,所以圆锥的体积
,球的体积为
,所以圆锥的体积和此球体积的比值为
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