热门试卷

证明略

  由题意可知，这个几何体是直三棱柱，

且AC⊥BC，AC=BC=CC1.

（1）连接AC1，AB1.

由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1，

所以AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形.

由矩形性质得AB1过A1B的中点M.

在△AB1C1中，由中位线性质得MN∥AC1，

又AC1平面ACC1A1，

MN平面ACC1A1，

所以MN∥平面ACC1A1.

（2）因为BC⊥平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，

所以BC⊥AC1.

在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1.

又因为BC∩A1C=C，

所以AC1⊥平面A1BC.

由MN∥AC1，得MN⊥平面A1BC.

（Ⅰ）证明略；

（Ⅱ）点到平面的距离为；

（Ⅲ）二面角的大小是.

（Ⅰ）证明：连结、、、，

∵、分别是棱、的中点，由全等的正方形中对应的线段长度相等可得＝＝＝，∴四边形是菱形，∴．　　　　　　　　　　　　

（Ⅱ）解：在面上的射影是，，∴．

∵、分别是棱、的中点，∴∥，∴．

由（Ⅰ）有，与是平面内两相交直线，∴平面．

设，则，即点到平面的距离等于．

（Ⅲ）解：取的中点，连结、，由全等的正方形中对应的线段长度相等可得＝，∴，由（Ⅱ）有平面，∴是二面角的平面角．　　　　　　　　　　　　　　   

在中，，，

∴．　　　　　　　　　　　

在中，，，∴．

∴　二面角的大小是．　

（1）见解析（2）

（1）证明：以为坐标原点，的方向为轴的正半轴建立如图所示的空间坐标系，

设，  

则，，

无论点在上如何移动，都有 

（2）连接，设，连接.

//平面，平面平面//，

是的中点，是的中点，， 

设平面的法向量为，则，

取，得，易知平面的法向量为 

，

设二面角的平面角为，依题知，.

二面角的余弦值为.

解：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

则BB1⊥AB，BB1⊥BC，

又由于AC=BC=BB1=1，AB1=，则AB=，

则由AC2+BC2=AB2可知，AC⊥BC，

又由上BB1⊥底面ABC可知BB1⊥AC，则AC⊥平面B1CB，

所以有平面AB1C⊥平面B1CB；-

（2）三棱锥A1—AB1C的体积．

 (1) (2)证明如下 （3）tan∠ADE=

（1）证：连结BF，与AE交于点H，连结OH，           

∵点O、H分别是线段DE、AE的中点，

∴OH∥AD，且OH=AD    

又∵BG∥AD，且BG=AD ，∴BG∥OH，且BG="OH"

∴四边形OHBG是平行四边形   ∴OG∥BH                

又 ∵BH平面ABEF，OG平面ABEF，

∴OG∥面ABEF     

（2）证明：∵正方形ABCD和ABEF所在平面互相垂直，AD⊥AB，AB=平面ABCD∩平面ABEF，

∴AD⊥平面ABEF， 又BF平面ABEF，∴AD⊥BF

在正方形ABEF中，BF⊥AE，AD∩AE=A，∴BF⊥平面ADE，     

由（1）知OG∥BF，∴OG⊥平面ADE，     又OG平面DEG，

∴平面DEG⊥平面ADE    

（3）作AM⊥DE，垂足为点M，DE=平面DEG∩平面ADE

由（2）已证得平面DEG⊥平面ADE，     则AM⊥平面DEG，

∴∠ADM即∠ADE为直线AD与平面DEG所成的角   

∴在Rt△ADE中，tan∠ADE=