热门试卷

(1) 以D为原点，DA、DC、AA1所在直线为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系.

D(0，0，0)，B（1，1，0）

D1（0，0，2），E（0，1，1），F（，，1）       

∴=（1，1，0），=（0，0，2），  

    =（，－，0）                                                                                                                由 ·=0，·=0，

得，EF⊥DB，EF⊥DD1 ∴EF⊥面D1DB1----------------------------------------------------

(2) 设=（x,y,z）是平面BDE的法向量，=(1,1,0)， =(0,1,1)

由⊥, ⊥得 即

∴取y=1，=（-1，1，-1）

,由(2)知点到平面BDE的距离为 =----

(3) =(-1,-1,2)

由(2)知

设直线BD1与平面BDE所成的角的正弦值为,则sin=,cos=

∴直线BD1与平面BDE所成的角的余弦值为--------------------

略

（Ⅰ）取的中点，连接

则为梯形的中位线，

又,所以

所以四点共面……………2分

因为面，且面面

所以

所以四边形为平行四边形，

所以……………4分

（Ⅱ）由题意可知平面面；

又且平面

所以面

因为   所以面

又面，所以面面；……………6分

（Ⅲ）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系

 ……7分

设为的中点，则

易证：平面

平面的法向量为……………8分

设平面的法向量为，

由得 所以……………10分

所以，……………11分

所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值为．            ……12分

略

（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，  ，

易算得：，

又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，

所以,

于是,,

所以

略

解法一：

（Ⅰ）平面底面，，所以平面，………1分     

  所以,  .……2分

如图，以为原点建立空间直角坐标系.

则………3分

，，

所以，，……………4分

又由平面，可得，所以平面.……………6分

（Ⅱ）平面的法向量为，…………………………………………7分

，，

所以， ………………………………………………………………8分

设平面的法向量为，，，

由，，得

所以，，………………………………………………….……9分

所以，………………………………………………………….…10分

所以，……………………...……11分

注意到，得.   …………………………….………………12分   

法二：（Ⅰ）∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD面PCD，且PD⊥CD

∴PD⊥面ABCD，………1分 又BC面ABCD，∴BC⊥PD    ①…. .…..……2分

取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1

在Rt△ABD中，，在Rt△BCE中，BC=. .……………………...……4分

∵, ∴BC⊥BD   ②………………...……5分

由①、②且PD∩BD=D

∴BC⊥面PBD.            ……….………………………………………….…...……6分

（Ⅱ）过Q作QF//BC交PB于F，过F作FG⊥BD于G，连结 GQ.

∵BC⊥面PBD，QF//BC

∴QF⊥面PBD，∴FG为QG在面PBD上的射影，

又∵BD⊥FG  ∴BD⊥QG

∴∠FGQ为二面角Q-BD-P的平面角；由题意，∠FGQ="45°." …………….…...……8分

设PQ=x，易知

∵FQ//BC，∴

∵FG//PD∴………………..…...……10分

在Rt△FGQ中，∠FGQ=45°

∴FQ=FG，即   ∴……..….........……11分

∵    ∴      ∴……..…............……12分

略

（方法1）设菱形的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系如图1．设BE =" t" （t > 0）．

（Ⅰ）

设平面的法向量为，则

        3分

设平面的法向量为，

则     4分

设二面角的大小为，则，   6分

∵cosqÎ，  ∴ ，    

解得£ t £． 所以BE的取值范围是 [，]．    8分

(Ⅱ) 设，则

由平面平面，得平面，

,化简得：(t ¹a)，即所求关系式：（BE ¹a).

∴当0< t < a时，< 1. 即：当0 < BE < a时，恒有< 1．       14分

（方法2）

（Ⅰ）如图2，连接D1A，D1C，EA，EC，D1O，EO，

∵ D1A= D1C，所以，D1O⊥AC，同理，EO⊥AC，

∴是二面角的平面角．设其为q．        3分

连接D1E，在△OD1E中，设BE =" t" （t > 0）则有：

OD1 = ，OE = ，D1E = ，

∴ .                                  6分

∵cosqÎ，  ∴ ，    

解得£ t £． 所以BE的取值范围是 [，]．

所以当条件满足时，£ BE £．                 8分

（Ⅱ）当点E在平面A1D1C1上方时，连接A1C1，则A1C1∥AC，

连接EA1，EC1，设A1C1的中点为O1，则O1在平面BDD1内，过O1作O1P∥OE交D1E于点P，则平面平面．

作平面BDD1如图3．过D1作D1B1∥BD交于l点B1，设EO交D1B1于点Q．

因为O1P∥OE，所以==，

由Rt△EB1Q∽RtEBO，得，解得QB1 = ，得=，  12分

当点E在平面A1D1C1下方时，同理可得，上述结果仍然成立．       13分

∴有=（BE ¹a），∴当0 < t < a时，< 1.      14分

略

⑴是直径，所以，因为平面，，所以平面因为，又因为，所以，所以平面ACD，因为平面，所以平面平面

⑵当为半圆弧中点时三棱锥的体积取得最大值，最大值为

试题分析：⑴因为是直径，所以，因为平面，，因为，所以平面

因为，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，因为平面，所以平面平面

⑵依题意，，

由⑴知，

，，等号当且仅当时成立，所以当为半圆弧中点时三棱锥的

体积取得最大值，最大值为

（备注：此时，，，设三棱锥的高为，则，）．

点评：第一问要证明两面垂直只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另外一面，即转化为证明线面垂直；第二问首先采用等体积法将所求椎体的体积转化求解的角度，而后借助于均值不等式求得最大值

（1）；  （2）.

(1)根据半圆形的面积等于其侧面积

可知,所以.

（2）本小题是侧面展开的问题，沿母线SA剪开，然后展开，则展开后角ASB为直角，所以细绳最短长度为AB的长，AB=cm.

解：(1)根据半圆形的面积等于其侧面积

可知,所以.

（2）沿母线SA剪开，然后展开，则展开后角ASB为直角，所以细绳最短长度为AB的长，AB=cm.