热门试卷

略

（1）见解析（2）垂直

（I）平面与平行， 取中点，连，因为是中点，

所以，在正方形中，，所以，

所以为平行四边形，

所以，所以平面

（II）由平面，所以面，又面，

所以，由（I）知，易证

所以面，又面，所以，面PCD面PEC…………12分

（也可用空间向量法）

以A为原点AB 为X轴、AD为Y轴、 AP为Z轴，建立空间坐标系。…1分

易求A（0，0，0），F（0，1，1），G（1，1，1），E（1，0，0）,

P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0)

，所以AF//面PEG。

设面PCD的法向量为=(x,y,z）,由D得x=0,y=z.

令，设面PEC的法向量为，

由得，可令

因为，所以，面PCD面PEC

（Ⅰ）1（Ⅱ）

（1）当时.…………2分

作∥交于，连.

由⊥面，知⊥面.…………3分

当为中点时，为中点.

∵△为正三角形，

∴⊥，∴…………5分

∴⊥…………6分

（2）过作⊥于，连结，则⊥，  

∴∠为二面角P—AC—B的平面角，，

  …………8分

          …………10分

   ……12分

（1） 

   又 

（2）过H作HE⊥AD于E，连结PE，则AD⊥平面PEH

又AD平面PAD

过H作HG⊥PE于G，则HG⊥平面PAD，

 ∴△APB为等边三角形

 ，

在Rt△ADH中,可得HD="1" ;在Rt△DEH中 ,可得HE=

在Rt△PHE中 ,tan∠HPE=

故PH与平面PAD所成角为arctan

略

（1）

（2）略

（3）

解：

　　法一：

　　如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

　　设,

　　依题意得,,,

　　（1）易得,,

　　　　 于是

　　　　 所以异面直线与所成角的余弦值为

　　（2）已知,

　　　　 ,

　　　　 于是·=0，·=0.

　　　　 因此，,,又

　　　　 所以平面

　　（3）设平面的法向量，则,即

　　　　 不妨令X=1,可得。

　　　　 由（2）可知，为平面的一个法向量。

　　　　 于是，从而,

　　　　 所以二面角的正弦值为

　　法二：

　　（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

　　　　 连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，

　　　　 由,可知EF∥BC1.

　　　　 故是异面直线EF与A1D所成的角，

　　　　 易知BM=CM=,

　　　　 所以 ,

　　　　 所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为

　　（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为，

　　　　 所以，从而，

　　　　 又由于,所以，

　　　　 故AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

　　　　 连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,

　　　　 所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED.

　　（3）连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,

　　　　 又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,

　　　　 故为二面角A1-ED-F的平面角.

　　　　 易知，所以，

　　　　 又所以，

　　　　 在

　　　　 ,

　　　　 连接A1C1,A1F 在

　　　　 。所以

　　　　 所以二面角A1-DE-F正弦值为.

（1）略

（2）

（3）

解（1）

（2）在底面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，

分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系，

由（1）知

A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）

，

本题也可以用几何法：

（3）在（2）中的空间坐标系中A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）

C（-3，，0），

，

=

，，设为面PAB的法向量，由，由，，

由DE//面PAB得：

略

解：（1）证明：取AD中点E，连接ME，NE，

由已知M，N分别是PA，BC的中点，

∴ME∥PD，NE∥CD

又ME，NE平面MNE，MENE=E，

所以，平面MNE∥平面PCD，           2分

所以，MN∥平面PCD   3分

（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，

所以PD⊥DA，PD⊥DC，

在矩形ABCD中，AD⊥DC，

如图，以D为坐标原点，

射线DA，DC，DP分别为

轴、轴、轴

正半轴建立空间直角坐标系   

则D（0，0，0），A（，0，0），

B（，1，0）（0，1，0），

P（0，0，）     5分

所以（，0，），，  6分

∵·=0，所以MC⊥BD         7分

（3）解：因为ME∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，

所以BD⊥平面MCE,

所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，      

由已知，所以平面PBD的法向量

M为等腰直角三角形PAD斜边中点，所以DM⊥PA，

又CD⊥平面PAD，AB∥CD，所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，

所以DM⊥平面PAB，         

所以平面PAB的法向量（-，0，）      9分

设二面角A—PB—D的平面角为θ，

则.

所以，二面角A—PB—D的余弦值为.             12分

(1)证明见解析(2) (3)

（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，可知△PBD与△QBD是全等等腰三角形 …１分

取BD中点E，连结PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，从而BD⊥PQ．  ………4分

（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角                    ……………………５分

作PM⊥平面，垂足为M，作QN⊥平面，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形． ……可得ME=NE=，PE=QE=，PQ=MN=…7分∴cos∠PEQ＝  ………9分

（Ⅲ）由（1）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，则

 ∴．

∴　．　　∴　．                             …………………………14分

（Ⅰ）中点（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），

设G（0，2，h），则

∴－1×0+1×（－2）+2h="0. " ∴h=1，即G是AA1的中点. 

（Ⅱ）设是平面EFG的法向量，则

所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）

∵

∴，即AC1与平面EFG所成角为 

解法二：（Ⅰ）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED//BC

∵BC⊥AC，∴ED⊥AC.又CC1⊥平面ABC，而ED平面ABC，∴CC1⊥ED.

∵CC1∩AC=C，∴ED⊥平面A1ACC1.

又∵AC1⊥EG，∴AC1⊥DG.

连结A1C，∵AC1⊥A1C，∴A1C//DG.

∵D是AC的中点，∴G是AA­1的中点.

（Ⅱ）取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF//GM，

∴E、F、M、G共面.作C1H⊥FM，交FM的延长线于H，∵AC⊥平面BB1C1C，

C1H平面BB1C1C，∴AC⊥G1H，又AC//GM，∴GM⊥C1H. ∵GM∩FM=M，

∴C1H⊥平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以∠C1NH为直线AC1与平面EFG所成角θ.

因为