空间几何体的结构
共7713题

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题型：简答题

简答题

(本小题满分16分)如图①，，分别是直角三角形边和的中点，，沿将三角形折成如图②所示的锐二面角，若为线段中点．求证：

（1）直线平面；

（2）平面平面．

正确答案

（1）取中点，连接，

则　, ,所以，

所以四边形为平行四边形，所以∥，……4分

又因为，

所以直线平面． ……………………………………………8分

（2）因为，分别和的中点，所以，所以…10分

同理，,

由（1）知，∥，所以

又因为, 所以, ……………………………14分

又因为

所以平面平面． ………………………………………16分

略

题型：简答题

简答题

如图，在三棱锥中，分别为的中点。

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，且，，求证：平面平面。

正确答案

证明：（1）分别是的中点，。

又平面，平面，

平面.

（2）在三角形中，，为中点，

。

平面平面，平面平面，

平面。

。

又，

，又，

平面。

平面平面。

略

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，AB=2．M为PD的中点．求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值；

正确答案

证：依题设，为PD的中点，PA=AD，PB=BD

，AM⊥PD．

，

．

设与交于点，//，

∥平面，则AB//MN//CD，

由，则MN是PN在平面ABM上的射影，

所以就是与平面所成的角，

且

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）

在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．

（Ⅰ）求证：EF//平面ACD1；

（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；

（Ⅲ）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P—AC—B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本题满分12分）

已知四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，，AB=PA=2，E．F分别为BC．PD的中点。

（Ⅰ）求证：PB//平面AFC；

（Ⅱ）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值。

正确答案

解析：（1）连结BD交AC于O，

为菱形，则BO=OD…………1分

连结FO，…………3分

平面AFC，平面AFC，

平面AFC…………4分

（2）为BC中点，

…………6分

建立如图所示的空间直角坐标系，，

则，D（90，2，0）…………8分

平面PAE的一个法向量为……9分

设平面PDC的一个法向量为

则

…………11分

平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为……12分

略

题型：简答题

简答题

（本题满分12分）

如图，已知直角梯形的上底，，，平面平面，是边长为的等边三角形。

（1）证明：；

（2）求二面角的大小。

（3）求三棱锥的体积。

正确答案

解：（1）在直角梯形中，因为，，

所以。

因为，平面平面，平面平面，所以平面，因此在中，。

因为所以平面，所以在中，

。

所以在中，，所以。

（2）设线段的中点为，连接，

因为是等边三角形，所以，

因为平面平面，平面平面，所有平面，因此，由（1）知，所以平面，所以，因此就是二面角的平面角，在中，

，所以。

（3）

略

题型：简答题

简答题

如图，多面体中，是梯形，，是矩形，面面，，．

（1）若是棱上一点，平面，求；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本题满分12分）

四棱锥中，底面为矩形，平面底面，，，，点是侧棱的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

（Ⅲ）在线段求一点，使点到平面的距离为.

正确答案

略

题型：简答题

简答题

(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB∥CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点．

（Ⅰ）试证：AB平面BEF；

（Ⅱ）设PA＝k ·AB，若平面与平面的夹角大于，求k的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAB为直角，故ABFD是矩形，从而ABBF．

又PA底面ABCD, 所以平面平面，

因为ABAD，故平面,所以，

在内，E、F分别是PC、CD的中点，，所以．

由此得平面．　　　…………6分

（Ⅱ）以为原点，以为正向建立空间直角坐标系，

设的长为1，则

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则

，取，可得

设二面角E-BD-C的大小为，

则

化简得，则.…………12分

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面，．底面为梯形，

，.，点在棱上，且．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小．

正确答案

（1）略

（2）

解：（1）证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．

不妨设，则，，

，，.

设，则，

，

∴，解得：．

． -------------------3分

连结，交于点，

则.

在中，，

∴． --------------------5分

又PD平面EAC，EM平面EAC，

∴PD∥平面EAC． --------------------6分

（2）设为平面的一个法向量，则，

∴

取，可得 -------------------8分

设为平面的一个法向量，则，

又，，

∴

∴可取． --------------------10分

∴ --------------------11分

∴二面角A—CE—P的大小为． --------------12分

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