热门试卷

（I）AC与PB所成的角的余弦值为

（II）面AMC与面BMC二面角的余弦值为

解：以A为坐标原点AD、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为………2分

（I）因

所以

即AC与PB所成的角的余弦值为 ………………6分

（II）由，

设平面AMC与面BMC的法向量分别为，

则，

同理 ………………8分

由题意可知，二面角的平面角为钝角，

所以面AMC与面BMC二面角的余弦值为 ………………10分

（Ⅰ）见解析（Ⅱ），（Ⅲ）E为的中点

（Ⅰ）证明：因为，且O为AC的中点，

所以.                                                                                   ………………1分

又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，

所以平面.                                                                      ………………4分

（Ⅱ）如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

由题意可知，又

所以得:

则有：                                     ………………6分

设平面的一个法向量为，则有

，令，得

所以.                                          ………………7分

.                                     ………………9分

因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以.                                                                                            ………………10分

（Ⅲ）设                                            ………………11分

即，得

所以得         ………………12分

令平面，得 ，                                        ………………13分

即得

即存在这样的点E，E为的中点.                           ………………14分

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

(1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.

为二面角a—l—的平面角..

是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离DO=

（2）过O在内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且

（3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. 为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即△ABC斜边上的高,

异面直线AB,CD所成的角为arctg

解：法一：（I）如图：在△ABC中，

由E、F分别是AC、BC中点，

得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF． 

∴AB∥平面DEF． 

（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD  

 ∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角

∴AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD  ∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角，在Rt△EMN中，EM=1，MN=

∴tan∠MNE=，cos∠MNE= 

（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE…

证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQ⊥CD与点Q，

∴PQ⊥平面ACD     ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE…

法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，……4分

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为

则 即

所以二面角E—DF—C的余弦值为

（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为

设

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE   

略

（Ⅰ）略  

（Ⅱ）与平面所成角的正弦值是 。

（I）因为是的中点，，所以.

因为平面，所以，从而平面.因为平面，所以. （4分）

（II）取的中点，连结、，则，

所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.

因为平面，所以是与平面所成的角.

在中，，

故与平面所成角的正弦值是 。（8分）

，

（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,

又因为平面平面.

如图建立空间直角坐标系A-xyz

则（2，2，），C（10，8，0），

F（4，0，0），D（10，0，0）.   

故=（-2，2，2），=（6，0，0）.

设=（x,y,z）为平面的一个法向量，

       -2x+2y+2z=0

所以

6x=0.

取，则。

又平面的一个法向量，

故。

所以二面角的余弦值为

（Ⅱ）解：设则，

因为翻折后，与重合，所以，

故，，得，

经检验，此时点在线段上，

所以。

方法二：

（Ⅰ）解：取线段的中点,的中点,连结。

因为=及是的中点，

所以

又因为平面平面，

所以平面,

又平面,

故，

又因为、是、的中点，

易知∥，

所以，

于是面，

所以为二面角的平面角，

在中，=，=2，=

所以.

故二面角的余弦值为。

（Ⅱ）解：设,

因为翻折后，与重合，

所以，

而，

得，

经检验，此时点在线段上，

所以。

(1)证明见解析(2) (3)

证明：①取AC中点M连BM，DM

又

即四边形DMBE为平行四边形…………………3分

又面ABC,D面ABC

面ABC

②在中，….2分

③过B作,

如图建系 设…………………2分

设面的法向量 

    ………3分

面的法向量………………….1分

 二面角是直二面角，

 ………………………………3分

（1）略   （2）

(1)证明：因为是正方形,矩形，且,是的中点。得：于是有所以,又因为平面平面，且,所以,得,所以平面.    又因为直线在平面内，故：平面平面.

(2)由（1）知：直线平面,所以是四面体的高,而:

,所以