空间几何体的结构
共7713题

空间几何体的结构
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题型：简答题

简答题

如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．（1）求证：（1）、//平面；

（2）、求证：；

（3）、求三棱锥的体积．

正确答案

、证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则

。。。4分

（2）

。。。。。。。。4分

（3），且

，

，∴ 即

==。。。。。。6分

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点．

（1）证明：平面；

（2）证明：；

（3）求三棱锥的体积．

正确答案

解：（1）证明： -------2分

又平面，平面，

平面 -------4分

（2）平面，平面，

-------5分

又

， -------6分

又，平面， -------7分

平面，故 -------8分

（3）连结，由（1）得平面， -------9分

又， -------10分

-------12分

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）在棱长为的正方体中,是线段的中点,.

(Ⅰ) 求证:^；(Ⅱ) 求证:∥平面；(Ⅲ) 求三棱锥的体积.

正确答案

(1)略

(2)

解: (Ⅰ)证明：根据正方体的性质，

因为，所以，又

所以，，所以^；

(Ⅱ)证明：连接，

因为，

所以为平行四边形，因此

由于是线段的中点,所以，因为面，平面，

所以∥平面

(Ⅲ)

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）如图所示，在正方体中，

E为AB的中点

(1)若为的中点，求证: ∥面；

(2) 若为的中点,求二面角的余弦值；

正确答案

（1）略

（2）

解析：(1)证明：如图，连接,

∵ 为的中点，为的中点

∴ ∥ ………………………2分

又 ∥ ∴ ∥

∴ ∥面 ………………………4分

(2) 7分

二面角的余弦值为。 …………9分

题型：填空题

填空题

三棱锥,，,分别为的中点，为上一点，则的最小值是

正确答案

略

题型：简答题

简答题

(本题满分12分)，

如图，菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面互相垂直，已知BD=AF，且点M是线段EF的中点.

（1）求证：AM∥平面BDE；

（2）求平面DEF与平面BEF所成的角.

正确答案

（1）略（2）

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，，且，

（1）求证：BE//平面PDA；

（2）若N为线段的中点，求证：平面；

（3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小.

正确答案

（1）证明略；

（2）证明略；

（3）45°

（1）证明：∵，平面，平面

∴EC//平面,同理可得BC//平面----------------------------------------2分

∵EC平面EBC,BC平面EBC且

∴平面//平面-----------------------------------------------------------------3分

又∵BE平面EBC ∴BE//平面PDA-----------------------------------------------------4分

（2）证法1：连结AC与BD交于点F, 连结NF，

∵F为BD的中点，

∴且,--------------------------6分

又且

∴且

∴四边形NFCE为平行四边形-------------------------7分

∴

∵,平面,

面 ∴，

又

∴面 ∴面----------------------------------------9分

证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，

则,--------------------------------6分

∴,,

∵,，

∴---------------------------------8分

∵、面，且

∴面--------------------------------------------------------------------9分

（3）解法1：连结DN，由（2）知面

∴, ∵， ∴ ∴

∴为平面PBE的法向量，设，则 ∴=---11分

∵为平面ABCD的法向量，，---------------------------------------------12分

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为，

则------------------------------------------------13分

∴ 即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°--------------------14分

解法2：延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB，

则GB为平面PBE与ABCD的交线--------------------10分

∵ ∴

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴-------------------11分

∵平面,面

∴且

∴面 ∵面

∴

∴为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角----------------------------13分

在中 ∵

∴＝45°即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°----------------14分

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

四棱锥的底面是正方形，侧棱的中点在底面内的射影恰好是正方形的中心，顶点在截面内的射影恰好是的重心．

（1）求直线与底面所成角的正切值；

（2）设，求此四棱锥过点的截面面积．

正确答案

(1)

(2)

解（1）

两两相互垂直, 连结并延长交于F．

同理可得

（2）是的重心, F是SB的中点

梯形的高

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面，为的中点，为的中点，求证：

（1）平面；

（2）.

正确答案

略

证明：（1）由于且，所以又由，所以，又，

所以

（2）取的中点，连CG、EG，由E为PA中点　

所以，又为菱形.所以且　四边形EFCG为　又平面PCD， CG平面PCD

平面

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）

如图所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=8，AC=，PB=10，F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.

（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；

（Ⅱ）求二面角B—CE—F的正弦值

正确答案

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角B—CE—F的正弦值是

（I）证明：∵

∴……2分

∴ PB边上的高=,……4分

又∵, ∴……6分

又EF⊥PB , ∴ PB⊥平面CEF ……8分

（2）∵PB⊥平面CEF且平面CEF ∴

∵ ∴

又∵, ∴ , ∵

∴PA⊥平面ABC，由平面ABC， ∴

∵， ∴平面 ……11分

∴平面PAB， ∴，，故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角……12分

∵EF⊥PB, PB⊥AB ∴……14分

二面角B—CE—F的正弦值是

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