热门试卷

（1）

（2）二面角A－PD－Q的余弦值为

解法1：（Ⅰ）如图，连，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有．

设，则，

在中，有．

在中，有．    ……4分

在中，有．

即，即．

∴．

故的取值范围为．……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），

使PQ⊥QD．                                                 

过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．

　过M作MN⊥PD于N，连结NQ，则QN⊥PD．

　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角．                      ……10分

在等腰直角三角形中，可求得，又，进而．

∴．

故二面角A－PD－Q的余弦值为．   ……12分

解法2：（Ⅰ）以为x．y．z轴建立如图的空间直角坐标系，则

B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），

P（0，0，4），                     ……2分

设Q（t，2，0）（），则 ＝（t，2，－4），

＝（t－a，2，0）．              ……4分

∵PQ⊥QD，∴＝0．

即．

∴．

故的取值范围为．         ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．

此时Q（2，2，0），D（4，0，0）．                               

设是平面的法向量，

由，得．

取，则是平面的一个法向量．                 

而是平面的一个法向量，                       ……10分

由．

　　∴二面角A－PD－Q的余弦值为．                        ……12分

(1)略

(2)

解：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。

又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD。

（2）由（1）知，，又，则是的中点可得

，

则

设D到平面ACM的距离为，由即，

可求得，

设所求角为，则。

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

试题分析：(1)证明；（2）证明面；（3）是与平面所成的角，在中求解.

试题解析：（1）如图,连结，则是的中点，又是的中点，∴.   

又 ∵平面，面

∴平面.                  4分

(2) ∵ 是正方形，∴ ，

又平面， 所以,

又，面，∴面.又平面，

故平面平面.       8分

（3）连结，由第（2）问知面，故是与平面所成的角.

∵ ， , ∴

在中，, ∴

所以与平面所成的角为              12分

（1）过C作AD的平行线CF交AB于F，过F作SA的平行线FE交SB于E，易知E为所求的点，所以＝

（2）当SA平面ABCD时，体积最大，最大值为8

（3）连AC，取AC中点O，连BO，由BA＝BC

得BOAC，所以BO平面SAC，过O作OKSC，

垂足为K，连BK，角BKO即为所求角，余弦值为

向量法酌情相应给分

略

（1）证明： 平面平面,,

平面平面=，平面，                              

平面，                      ……………　2分

又为圆的直径，，

平面 ……………………　4分                              

（2）设的中点为，则，又，

则，为平行四边形，        ……………………　6分

，又平面，平面，

平面                                     ………　8分                                  

(3)过点作于，平面平面，

平面，， …………　10分

平面，

，……………11分

．

略

(1) 略

(2)

(3)

（1）略；（2）；

（3）过A作AE⊥PC交PC于E，过E作EF⊥PC交PB于F，连结AE。则二面角A—PC—B的平面角为∠AEF即∠AEF=。

在Rt⊿APC中，PC=，，

在⊿PBC中，PB=，BC=2，，

在Rt⊿PEF中，

在⊿PAF中，PF=，

在⊿AEF中，

在△ABD中，设BD=x

则

即   

整理得：

解之：      （舍去）

由余弦定理：

 ∴