热门试卷

(Ⅰ)略   (Ⅱ)  arcsin 

（1）∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB

∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB又，

∴AB平面PCB．…6分

（2）解法一：取AP的中点E，连结CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得DE PA．

∴为二面角C-PA-B的平面角．

由(I) AB平面PCB，又∵AB⊥BC，又AB=BC，AC=2，可求得BC=．

　　在中，PB=，

．

在中， sin∠CED=．

∴二面角C—PA—B的大小为arcsin．…………14分

（2）解法二：

∵AB⊥BC，AB⊥平面PBC，过点B作直线l//PA，则l⊥AB，l⊥BC，以BC、BA、l所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）

设平面PAB的法向量为

则  即

解得  

令=" -1, " 得= (，0，-1)

设平面PAC的法向量为=()．

，，

则  即

解得  令="1, " 得= (1，1，0)．

=

∴二面角C—PA—B的大小为arccos

（1）2（2）F是AD中点

（1）以DA、DC、DP所在直线分别为建立空间直角坐标系

则

（2）

又

即F是AD中点

解：(Ⅰ)证明：取PD的中点F，连结EF，AF，

因为E为PC中点，所以EF∥CD，且EF＝CD＝1，

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝1，

所以EF∥AB，EF＝AB，四边形ABEF为平行四边形，

所以BE∥AF，

又∵ BE 平面PAD，AF 平面PAD，　　　　所以BE∥平面PAD 

（2）

BC⊥BD,又BC⊥PD,BC⊥平面PBD

(3)

本试题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理和四棱锥的体积的综合运用。

（1）先找到线线平行，BE∥AF，从而利用判定定理得到结论。

（2）要证明线面垂直，先证明线线垂直，利用判定定理得到结论。

（3）对于体积的求解关键是求解底面积和体的高，然后得到结论。

解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设.      …………1分

∵为平行四边形，

   …………3分

 …………5分

（II）设为平面的法向量，

………8分

的夹角为，则

∴到平面的距离为  

略

(Ⅰ) 略  (Ⅱ)

：（1）∵正三棱柱中，，

∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形（如图），

从而，折线的长最短，当且仅当、、、四点共线，

∴、分别是、上的三等分点，其中．……2分（注：直接正确指出点、的位置，不扣分）

连结，取中点，中点，连结、、．

由正三棱柱的性质，平面平面，

而，平面，

平面平面，∴平面．…4分

又由（1）知，，

∴四边形是平行四边形，从而．

∴平面．而平面，∴平面平面．8分

（2）（法一）由（2），同理可证，平面平面．………10分

而平面，平面平面，

∴即为在平面上的射影，

从而是直线与平面所成的角．……12分

在△中，，，

，由余弦定理，

，

即直线与平面所成角的余弦值为．…14分

（法二）取中点为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：

，，，．

从而，

，．…………………10分

设平面的一个法向量为，

则，所以，

即，解之，得，………………………12分

取，得，，∴从而

即直线与平面所成角的正弦值为，

∴直线与平面所成角的余弦值为．…………14分

（I）异面直线的距离为1   （II）

第一问中，利用建立空间直角坐标系

解：（I）以B为原点，、分别为Y,Z轴建立空间直角坐标系.由于，

在三棱柱中有

,

设

又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，则，故异面直线的距离为1.

（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量与的夹角.