- 空间几何体的结构
- 共7713题
（（本小题满分14分）如图，正方体
（1）求直线
（２）求直线
（３）求证：平面
正确答案
略
证明：（1）连接
（2）
所成的角，
（3）
(8分) 如图，在四棱锥
（1）求证：
（2）求证：平面
正确答案
略
证明：（1）连结AC，则
且PA
∴EF∥平面PAD
证明：（2）因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以，CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA
又PA=PD=
且
又CD∩PD=D， ∴ PA
又PA
所以 平面PAD⊥平面PDC
(13分)如图(3):四面体D—ABC中,DB⊥面ABC, ∠DAB="30°,∠BAC=45°," ∠ACB=90°.BC=
(1)点A与面BCD的距离; (2)AB与CD成的角的余弦值.
正确答案
(1) AC=
(1)∵DB⊥面ABC ∴DB⊥AC,又BC⊥AC ∴AC⊥面DBC ∴A到面DBC的距离为AC，由题设可得:AC=
(2)过C作CM
下面一组图形为三棱锥P－ABC的底面与三个侧面．已知AB⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC.
(1)在三棱锥P－ABC中，求证：平面ABC⊥平面PAB；
(2)在三棱锥P－ABC中，M是PA的中点，且PA＝BC＝3，AB＝4，求三棱锥P－MBC的体积．
正确答案
(1)如图，证明：∵PA⊥AB，PA⊥AC，
AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，又∵PA⊂平面ABP
∴平面ABC⊥平面PAB--------------------6分
(2)∵PA=3，M是PA的中点，∴MA=
又∵AB=4，BC=3.∴VM-ABC=
又VP-ABC=
略
如图，在直三棱柱
（1）设
求证：
（2）求证：
正确答案
（1）证明：
（2）证明：由
略
已知四棱椎
正确答案
90
略
若直线
正确答案
略
如右图所示,在直三棱柱
则
正确答案
略
下列各命题：
①若直线
②若平面
③若一个平面内有不共线的三点到另一平面的距离相等，则两平面平行。
④如果两个平面垂直，则一个平面内任意直线都和另一个平面垂直。
其中错误命题的序号是____________.
正确答案
①③④
略
如右图所示，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD＝BD＝1，AB＝.沿它的对角线BD把△BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置．
(1)证明：平面ABC0D⊥平面CBC0；
(2)如果△ABC为等腰三角形，求二面角A－BD－C的大小
正确答案
(1)证明：因为AD＝BC0＝BD＝1，
AB＝C0D＝，
所以∠DBC0＝90°，∠ADB＝90°.
因为折叠过程中，∠DBC＝∠DBC0＝90°，
所以DB⊥BC，又DB⊥BC0，故DB⊥平面CBC0.
又DB⊂平面ABC0D，所以平面ABC0D⊥平面CBC0.
(2)法一：如右
因为AD綊BE，BE＝1，DB＝1，∠DBE＝90°，所以AEBD为正方形，AE＝1.
由于AE，DB都与平面CBC0垂直，所以AE⊥CE，可知
AC＞1.
因此只有AC＝AB＝时，△ABC为等腰三角形．
在Rt△AEC中，CE＝＝1，又BC＝1，
所以△CEB为等边三角形，∠CBE＝60°.
由(1)可知，BD⊥BC，BD⊥BE，所以∠CBE为二面角A－BD－C的平面角，即二面角A－BD－C的大小为60°.
法二：以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和y轴正
半轴，建立如右图的空间直角坐标系D－xyz，则
A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,0,0)．
由(1)可设点C的坐标为(x,1，z)，其中z＞0，则有
x2＋z2＝1.①
因为△ABC为等腰三角形，所以AC＝1或AC＝.
若AC＝1，则有(x－1)2＋1＋z2＝1.
由此得x＝1，z＝0，不合题意．
若AC＝，则有(x－1)2＋1＋z2＝2.②
联立①和②得x＝，z＝.
故点C的坐标为.
由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以与夹角的大小等于二面角A－BD－C的大小．
又＝(1,0,0)，＝，
cos〈，〉＝＝.
所以〈，〉＝60°，即二面角A－BD－C的大小为60°
略
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