热门试卷

略

（I）证明：在中，

    ………………………2分

又平面平面

平面平面平面

平面……………………………………………………………………4分

平面……………………………………………………5分

（Ⅱ）解：由（I）知从而

在中，

………………………………………………………………6分

又平面平面

…………………………………8分

平面平面，平面

而平面

综上，三棱锥的侧面积，…………………………10分

(Ⅰ)见解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，．  ………………………1分

∵平面平面，又∵，

平面．         ……………………2分

平面，．……………3分

平面．           ………………4分

(Ⅱ)连结，

平面，

是直线与平面所成的角．………5分

设，则

，，  ………………………6分

，． 

即直线与平面所成的角为…8分

（Ⅲ）过作于，连结．  ……………………9分

平面，．平面．

是二面角的平面角．……10分

∵平面平面，平面．

．

在中，，有．

由(Ⅱ)所设可得

，，

． ………………10分

．．

∴二面角等于．     ……………………12分

解法二: ∵四边形是正方形，，

∵平面平面，平面，    ………2分

∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，

分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空

间直角坐标系．

设，则

，

      是正方形的对角线的交点，

．……………4分

（Ⅰ），，

，

，  ……………………………………4分

平面． ………………5分

（Ⅱ）平面，为平面的一个法向量，…………6分

，．……………7分

．∴直线与平面所成的角为．  ……8分

(Ⅲ) 设平面的法向量为，则且，

且．

     即

取，则，则．………………10分

又∵为平面的一个法向量，且，

，设二面角的平面角为，则，．∴二面角等于．…12分

(Ⅰ)略   (Ⅱ)

：以向量、、的正向分别为的正向，建立空间直角坐标系,则于是

（1）∵，∴，，即，，又∴；

（2）设平面的法向量为，则由得

令得∴，易知平面的法向量为，

设平面与平面所成角的大小为，则.

即平面与侧面所成锐角的大小为.

(Ⅰ)略   (Ⅱ)   

（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB， 4分

∴平面.    

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，  ∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE//PD，，又∵，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.

（1）线PE与平面ABC所成角的最大值为 

（2）略

（3）

解:（1）PE在平面ABC内的射影为AP，

则∠EPA为PE与平面ABC所成角的平面角，

当点P与D重合时，AP最短，此时：

取直线PE与平面ABC所成角的最大值为     …………（4分）

（2）如图所示，连接DE、CE，∵D、E、F分别是所在棱的中点，

,

又平面EDC//平面

  ………………………………………………………（8分）

（3）解法一 由（2）可知，直线PE与平面的距离等于两平行平面EDC与平面 的距离，即点到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离.设A到平面EDC的距离为，又，平面且平面，又,

为直角三角形.

由，得

      ………………………………………… （12分）

解法二 由（1）知，平面EDC//平面,故平面的法向量也为.又E到平面的距离，即为向量在法向量n上的投影的绝对值，

又=

略

（1）证明：由四边形为菱形，，知为正三角形

∵为的中点∴，又∴…………………………1分

∵平面，平面∴

而平面，平面,且,

∴平面，又平面，∴…………………………3分

（2）设，连结         

由（1）知平面,而,∴，

则为与平面所成的角。………………………………………………4分

在中，，当最小时，即当时，最大，此时

因此，

又 ∴∴…………………………………………………5分

方法一：平面，平面， ∴平面平面

过作于，则平面，过作于，连结，则为二面角的平面角。…………………………………………………… 6分

在中，

又为的中点，∴在中，,

又

在中，         

即所求二面角的余弦值为……………………………………………………………7分

方法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：

∴………………………………………………………7分

设平面的一个法向量为，

则，因此

取，则……………………………………………………………8分

∵，平面

故为平面的法向量。……………………………………………………6分

∴         

二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为…………………………………………7分

（3）方法一：由（2）得：在中，，∴

在中，，∴中，，

又,∴………………………………………………………………8分

又，点到平面的距离，…………………9分

设点到平面的距离为，

∵，∴，

∴………………………………………………………………10分

方法二：由（2）解法2知，平面的一个法向量为……………………8分

又∵         

∴点到平面的距离为…………………………………10分

其余方法请酌情给分！！

（Ⅰ）   （Ⅱ）拼接成的长方体的表面积为16或.

连结，底面，平面，

∴.   ，分别为棱的中点，

∴.，

∴Rt△ Rt△.∴.

,∴.

∴.  ∴

，∴平面.

∴.  ，∴平面.                                      

平面，∴. 同理可证.                                     

，∴平面.                                        

（2）切割拼接方法一：如图甲所示，分别以的中点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为长方形如图①所示，），此时所拼接成的长方体的表面积为16. 

图甲                           图①

切割拼接方法二：如图乙所示，设的中点分别为，以四点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体（该长方体的一个底面为正方形），此时所拼接成的长方体的表面积为.