空间几何体的结构
共7713题

空间几何体的结构
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题型：简答题

简答题

(本小题满分12分)

已知某几何体的正视图、侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形（尺寸如图所示）.

（1）在所给提示图中，作出该几何体的直观图；

（2）求该几何体的体积.

正确答案

（Ⅰ）该几何体的直观图如图：┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分

（Ⅱ）该几何体是四棱锥，

其底面的面积：，┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分

高┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分

则体积（体积单位） ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

略

题型：简答题

简答题

(本小题满分10分)

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点。求证：EF∥平面AD1C.

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）

P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC.

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本小题12分）

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2。

（1）证明：AB1⊥BC1；（2）求点B到平面AB1C1的距离；

（3）求二面角C1—AB1—A1的大小。

正确答案

（1）证明：解：如图建立直角坐标系，其为C为坐标原点，依题意A（2，0，0），B（0，2，0），

A1（2，0，2），B1（0，2，2），C1（0，0，2）

（2）解：

设的一个法向量，

由得

令

，∴点B到平面AB1C1的距离

（3）解设是平面A1AB1的一个法向量

由

令

∴二面角C1—AB—A1的大小为60°

略

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简答题

在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中

（1）求证：∥平面C1BD

（2）求证：A1C平面C1BD

正确答案

（1）证明略

（2）证明略

证明：（1）∥-------------------------------------2分

又面-----------------------------------------------------1分

面------------------------------------------------------1分

∥面------------------------------------------------------1分

（2）

又

面

----------------------------------2分

连接,同理可证面---------------2分

面

面----------------------------------------------1分

题型：简答题

简答题

（本题12分）

在单位正方体中，M,N,P分别是的中点,O为底面ABCD的中心.

( 1)求证：OM平面;

(2)平面MNP平面；

(3)求B到平面的距离

正确答案

（1）略

（2）略

（3）

略

题型：简答题

简答题

(本小题满分12分)

如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a，AD=2，SA=1，且SA⊥底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的一点P，使得.

（1）求a的最大值；

（2）当a取最大值时，求异面直线AP与SD所成角的余弦值．

正确答案

解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

A(0, 0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0)，(0

(1) ∵………3分

∴由得: ×=0,

即:

∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.

此时P为BC中点； ………6分

(2) 由(1)知: ………8分

∴ ………10分

∴异面直线AP与SD所成角的余弦值为． ………12分

略

题型：简答题

简答题

(本题满分12分)

如图，已知所在的平面，分别为的中点，，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

正确答案

略

（Ⅰ）证明:取的中点,连接

∵为中点 ∴为的中位线

∴

又∵ 为中点 ∴

∴四边形为平行四边形 ∴

又∵平面平面

∴平面 ……………………………4分

（Ⅱ）证明:∵平面平面平面

∴

∵ ∴平面

又∵平面 ∴

∵ 为中点

∴

又∵ ∴平面

∵ ∴平面

又∵平面

∴平面平面 ……………………………8分

（Ⅲ）解:

……………………………12分

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且．

（Ⅰ）若O是AC与BD的交点，求证：平面；

（Ⅱ）若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值．

正确答案

（Ⅰ）证明略；

（Ⅱ）

（Ⅰ）连接AC与BD交于点O，连OP．

∵，且O是AC和BD的中点，

∴

∴平面．

（Ⅱ）取的中点，连接，则，则就是所求的角，根据题意得

所以，

故

题型：简答题

简答题

（本小题满分10分）如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．

（1）求证：平面A B1D1∥平面EFG；

（2）求证：平面AA1C⊥面EFG ．

正确答案

略

解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中连接BD，

∥，=，为平行四边形 ∴∥

∵E，F分别为BC，CD的中点

∴EF∥BD ∴EF∥

∵EF平面GEF，平面GEF

∴∥平面GEF

同理∥平面GEF

∵=

∴平面A B1D1∥平面EFG ……………5分

（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1 ∴ 平面ABCD

∵EF平面ABCD ∴ EF

∵ABCD为正方形 ∴ACBD

∵EF∥BD ∴AC EF 又∵

∴EF平面AA1C

∵EF平面EFG ∴平面AA1C⊥面EFG …………….5分

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