空间几何体的结构_章节学习

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AAl=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

(I)证明：D1E上AlD；

(Ⅱ)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

(Ⅲ)在(II)的条件下，求D1E与平面AD1C所成角的正弦值．

正确答案

解：（Ⅰ）以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则

.……………4分

（Ⅱ）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则

即，得，从而，…7分所以点到平面的距离为

……9分

（Ⅲ）, .

与平面所成角的正弦值.……………12分

略

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题型：简答题

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简答题

(（本小题满分12分）

如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=．

（Ⅰ）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

（Ⅱ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与

SB所成角的大小；

（Ⅲ）求点D到平面SBC的距离．

正确答案

（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）∵SD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，∴CD⊥平面SAD，AD⊥平面SDC，又在Rt△SDB中，．……1分

以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，． …………2分

设平面SBC的法向量为，则，，

∵，，∴，∴可取…4分

∵CD⊥平面SAD，∴平面SAD的法向量． ……………5分

∴，∴面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°．……6分

（Ⅱ）∵，∴，，又∵，

∴DM⊥SB， ∴异面直线DM与SB所成角的大小为90°． ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）平面SBC的法向量为，∵，

∴在上的射影为，∴点D到平面SBC的距离为．………12分

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

如图，多面体ABCD—EFG中，底面ABCD为正方形，GD//FC//AE，AE⊥平面ABCD，其正视图、俯视图如下：

（I）求证：平面AEF⊥平面BDG；

（II）若存在使得，二面角A—BG—K的大小为，求的值。

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

．（本小题满分12分）如图，在正方体中，

、分别为棱、的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面⊥平面；

（3）如果，一个动点从点出发在正方体的

表面上依次经过棱、、、、上的点，最终又回到点，指出整个路线长度的最小值并说明理由.

正确答案

（1）证明:连结.

在正方体中，对角线.

又 E、F为棱AD、AB的中点，

.

. …………2分

又B1D1平面，平面，

EF∥平面CB1D1. …………4分

（2）证明: 在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，

而B1D1平面A1B1C1D1，

AA1⊥B1D1.

又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

B1D1⊥平面CAA1C1. …………6分

又 B1D1平面CB1D1，

平面CAA1C1⊥平面CB1D1． …………8分

（3）最小值为 . …………9分

如图，将正方体六个面展开成平面图形， …………10分

从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为 . …………12分.

略

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题型：简答题

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简答题

．（本小题满分12分）

如图，已知中，，平面，

分别为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

（1）证明：平面，。

又平面u

分别为的中点，。

平面，

平面，平面平面。

（2）解：过作于，连结,

由（1）可得平面，

为直线与平面所成角。

在中，为中点，

。

在中，。

在中， .

在中，,

与平面所成角的正弦值为。

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分14分）如图，正方形、的边长都是1，平面平面，点在上移动，点在上移动，若（）

（I）求的长；

（II）为何值时，的长最小；

（III）当的长最小时，求面与面所成锐二面角余弦值的大小.

正确答案

(1)

(2)

(3)

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，

即MNQP是平行四边形，∴ MN="PQ."

由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，

∴ AC=BF=，

即

………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当

即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 ………………9分

（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，

∵ AM=AN，BM=BN，G为MN的中点

∴ AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角A-MN-B的平面角，

又AG=BG=，所以，由余弦定理有

∴ 所求余弦值为 …14分

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题型：填空题

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填空题

设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：

① 若，则； ② 若，则；

③ 若，则； ④ 若，则．

其中正确的命题是　　　　　　　　　　　　．（写出所有正确命题的序号）

正确答案

④

①错.b 与c可能异面.②错.c 可能在平面内.

③错.c 与可能相交，也可能平行，也可能在内.④正确

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题型：填空题

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填空题

三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.

正确答案

如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以，，，设异面直线的夹角为，所以.

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知直角梯形中(如图1），，为的中点，

将沿折起，使面面（如图2），点在线段上，.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在四棱锥的棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.

正确答案

(1)略

(2)

(3) 存在的中点，使得平面.

解：（1）依题意知：.

又面面，面面，面，

所以面. …………2分

又因为.

以为原点，建立如图所示的坐标系， …………3分

则. …………4分

由于，

所以,

即. …………5分

所以，.

所以. …………6分

（2）易知为平面的法向量. …………7分

设平面的法向量为，

则即，…………8分

令则，即. …………9分

二面角的平面角为，则.…………10分

（3）方法一：存在的中点，使得：平面，证明如下：

连接，交于，取中点，连.

在△中，分别为中点，则. …………11分

在△中，分别为中点，则. …………12分

所以平面平面.

又平面，

所以平面. …………14分

方法二：假设在四棱锥的棱上存在一点，使得平面，不妨设：， …………11分

由，得. …………12分

由（2）知平面的法向量，由得. ……13分

故存在的中点，使得平面. …………14分

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题型：简答题

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简答题

（1）求证：平面平面；

（2）求正方形的边长；

（3）求二面角的平面角的正切值．

正确答案

（1）略

（2）

（3）

（1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，

∴．

在正方形中，，

∵，∴平面．

∵平面，

∴平面平面． ……… 4分

（2）∵平面，平面，

∴．

∴为圆的直径，即．

设正方形的边长为，

在△中，，

由，解得，． ……… 8分

（3）．过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，

∴．∵，

∴平面．∵平面，∴．

∵，，∴平面．

∵平面，∴．

∴是二面角的平面角． ……………… 10分

在△中，，，

∵，∴．

在△中，，∴．

故二面角的平面角的正切值为． ………………12分

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