热门试卷

（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）30°

证明: （1）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线 ∴FGCD

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点

∴ABCD    ∴FGAE∴四边形AEGF是平行四边形∴AF∥EG  

又EG平面PCE，AF平面PCE∴AF∥平面PCE  

（2）∵PA⊥底面ABCD

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A

∴CD⊥平面ADP，又AF平面ADP        ∴CD⊥AF

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD为等腰直角三角形  ∴PA＝AD="2 "

∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CDPD=D

∴AF⊥平面PCD   ∵AF∥EG　　∴EG⊥平面PCD

又EG平面PCE平面PCE⊥平面PCD

（3）过E作EQ⊥PB于Q点, 连QG, CB⊥面PAB

∴QE⊥面PCB, 则∠QGE为所求的角.

S△PEB=BE·PA=PB·EQEQ=

在△PEC中, PE＝EC＝, G为PC的中点, ∴EG＝,

在Rt△EGQ中, sin∠EGQ=

∴∠EGQ=30°

（1）证明：……………………2分

又……………………4分

  ……………………6分

（2）连结BD与AC交于点F，则F是BD的中点…………………8分

是PD的中点，在△PDB中EF是PB的中位线

…………………………………………10分       

∴PB//面ABC ……………………12分

略

（Ⅰ）

（Ⅱ）与所成的角为．

解：（Ⅰ）连接BD，交AC于O，∠D1OD为二面角

D1-AC-D的平面角，

在中，，，．             

（Ⅱ）长方体中，DD1⊥面ABCD， ∴DD1⊥AC．

又正方形ABCD中，DB⊥AC，，∴AC⊥面BDD1．

∴AC⊥BD1，即与所成的角为．

（1）证明见解析

（2）k＝1

（3）

（1）在平面内过点C作CE⊥PQ于点E, 由题知点E与点A不重合, 连接EB.

, 即点C在平面内的射影为点E,

所以.

又.

, 故 BE⊥PQ, 又

, ,

平面EBC, 故BC⊥PQ.

（2）由（1）知, O点即为E点, 设点F是O在平面ABC内的射影, 连 接BF并延长交AC于点D, 由题意可知, 若F是△ABC的重心, 则点D为AC的中点.

, 平面角为直二面角, , 由三垂线定理可知AC⊥BF, 即AC⊥BD, , 即k＝1；反之, 当k＝1时, 三棱锥O—ABC为正三棱锥, 此时, 点O在平面ABC内的射影恰好为△ABC的重心.

（3）由（2）知, 可以O为原点, 以OB、OA、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O—xyz(如图所示) 

不妨设, 在Rt△OAB中, ∠ABO＝∠BAO＝45°, 所以BO＝AO＝, 由CA＝CB＝kAB且得, AC＝2, , 则.

所以

设是平面ABC的一个法向量, 由得

取x="1," 得

易知是平面的一个法向量,

设二面角B－AC－P的平面角为, 所以, 由图可知,

二面角B－AC－P的大小为.

（1）利用线面垂直证明面面垂直；（Ⅱ） .

试题分析：（1）∵为正方形，∴

又为正方形，∴，∴面.     3分

又，∴面.

而面，∴面面.          6分

（Ⅱ）作在上的射影，连.…7′

∵，，∴面面，

∴面面，∴面，

∴为与面所成的角．          9分

作在上的射影，连.

设，则，.

∴

，

∴直线与平面所成的角的正弦值为.                12分

空间中的线面关系

点评：高考中常考查空间中平行关系与垂直关系的证明以及空间角的计算，这是高考的重点内容.证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理

(1)见解析    (2) .

（1）由已知得，要证平面，关键是证，由已知易证出，结论得证；（2）假设存在一点,使得平面，再作,得到面面平行，根据面面平行的性质定理得线线平行，把要求的转化为求利用三角形相似，对应线段成比例计算得的值。

(1)又又

(2)假设棱存在一点,使.过作,连,则,它们都与平面相交,设,则在,可求 即,因此存在点满足题意,

解法1：设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.

（Ⅰ）依题意，

得，

所以.

在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则

.

即直线BE和平面所成的角的正弦值为.

设F是棱上的点，则.又，所以

.而，于是

为的中点，这说明在棱上存在点F(的中点)，使.

解法2：（Ⅰ）如图（a）所示，取的中点M，连结EM,BM.因为E是的中点，四边形为正方形，所以EM∥AD.

即直线BE和平面所成的角的正弦值为.

（Ⅱ）在棱上存在点F，使.

事实上，如图（b）所示，分别取和CD的中点F，G，连结.因,且,所以四边形是平行四边形，因此.又E,G分别为，CD的中点，所以，从而.这说明，B，G，E共面，所以.

因四边形与皆为正方形，F，G分别为和CD的中点，所以

，且，因此四边形是平行四边形，所以.而，，故.

略