热门试卷

（1）见解析   （2）. （3）.

(1)易证：，再根据平面ACFE平面ABCD,利用面面垂直的性质定理转化为.

(2)连接BD，交AC于O点，若则.从而再根据O的位置确定M的位置求出EM的长度.

(3)以C为原点，CA、CB、CF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz,然后分别求出平面BEF和平面EFD的法向量，利用向量法求二面角B-EF-D的平面角的余弦值

（1）平面，，从而.又因为面，平面平面，所以平面.

（2）连接，记，在梯形中，因为，，所以，，，从而.又因为，，所以.连接，由平面得，因为是矩形，所以.

（3）以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量为，则有，即，解得.

同理可得平面的一个法向量为，观察知二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为.

（1）建立如图坐标系，于是，，，，（），

，， ．

由于异面直线与所成的角，

所以与的夹角为，

即，

．

（2）设向量且平面

于是且，即，且，     

又，，

所以不妨设 同理得，使平面，

设与的夹角为，所以依，

，平面，平面，

因此平面与平面所成的锐二面角的大小为．

略

(1)略

(2)

(3)在棱上存在点，使平面，且为棱的中点

证明：(1) 在中，，

为正方形，因此.               ……………2分

∵面，面，

．                                           ……………3分

又  

∴面．                                       ……………4分

解： (2) 建立如图所示的直角坐标系，则、、．………5分

在中，，，

∴，，，                                                               

∴，．……6分

设面的法向量，

则，

可以得到面的一个法向量．                 …………7分

又平面，

为面的一个法向量，                    …………8分

则，

二面角的余弦值为.                      …………10分

(3)为的中点，

的坐标为.

设棱上存在点使平面，            

则,                                       …………11分

由得面的一个法向量,

，                                   …………13分

在棱上存在点，使平面，且为棱的中点.……14分

（1）略（2）

略

（1）球的体积

（2）。    

解：（1）设球的半径为，则

所以             

，，所以，——3

所以球的体积   

（2）取的中点，连结，则

所以为异面直线与所成角。

由已知，

，

所以。       

（2）：如图所示. 由，，则面.所以，四棱锥的体积为 …12分 

略

(1)解 如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角 

在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a

由余弦定理得cosA′CP=

故A′C与DE所成角为arccos 

(2)解 ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上（如图）又可证明四边形B′EDF为菱形（证明略），∴DB′为∠EDF的平分线，

故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，

在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a，

则cosADB′=，故AD与平面B′EDF所成的角是arccos 

(3)解 如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角 

在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,

则由面积关系得OM=a

在Rt△OHM中，sinOMH=

故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin 

方法二（向量法）

（1） 如图建立坐标系，则

故A′C与DE所成角为arccos 

（2）∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上 如下图所示又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，

故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′，如图建立坐标系，则

，

故AD与平面B′EDF所成的角是arccos 

(3)由(1)知，

所以面ABCD的法向量为  下面求面B′EDF的法向量 

设，由

取z=1，得 ∴.

故面B′EDF与面ABCD所成的角为 

求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法 点评：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强  用平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角，是常用的方法.

（1）略（2）

证明：（1）过D作于H.由平面平面得，平面，所以，由题意可得，因此平面..

（2）在平面CDE内，过C作CE的垂线，与过D作CE的平行线交于F，再过B作于G，连结DG，CH，BH可得平面；所以为BD和平面CDE所成的角.在中，中，可得，又，因此

.由题意得，因此，BD和平面所成的角的正弦值为.