热门试卷

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分13分。

解法一 ：

（I）平面，平面，   

是圆O的直径，

又， 平面

而平面，

所以平面平面。

（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则

故三棱柱的体积

又

当且仅当时等号成立。

从而，

而圆柱的体积，

故，当且仅当

，即时等号成立。

所以，的最大值等于

（ii）由（i）可知，取最大值时，

于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），

则，，

平面，是平面的一个法向量

设平面的法向量，

取，得平面的一个法向量为

，

解法二：

（I）同解法一

（II）（i）设圆柱的底面半径为r，则，

故三棱柱的体积

设，

则，，

由于，当且仅当即时等号成立，故

而圆柱的体积，

故，当且仅当即时等号成立。

所以，的最大值等于

（ii）同解法一

解法三：

（I）同解法一

（II）（i）设圆柱的底面半径，则，故圆柱的体积

因为，所以当取得最大值时，取得最大值。

又因为点C在圆周上运动，所以当时，的面积最大。进而，三棱柱的体积最大，且其最大值为

故的最大值等于

（ii）同解法一

略

;平面.

(1)连接,∵四边形是正方形，

∴

∵⊥平面，,

∴

又,∴⊥平面 

∵平面,∴

（2）取中点，连接,则，

∵是正方形，∴，

∵为的中点，∴，

∴．

∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面．

∴平面．

(注：亦可取中点,通过证明平面平面达到目的)

略

解：（1）连结，则。…………………1分

在正方体 中，

平面,

平面,,     …………………2分

平面.               …………………3分

平面,   …………………4分

(2) 连结,则,

在正方体中，平面,

平面,                    ………………5分

平面,平面,. ……………6分

由（1）知,且,              ………………7分

平面.                               ………………8分

平面.               …………9分

平面平面       ……………10分

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）

（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．…………………………………………………………（3分）

连结，在正方形中，分别为的中点，

，

平面，

在正方形中，，

而平面．……………………………………………（7分）

（Ⅱ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距离为．

设点到平面的距离为．

由得，

．点到平面的距离为．…………………（14分）

（I）PB∥平面EAC．（II）证明见解析 ，（III）二面角A－PC－D的正切值为．  

解法一：

（I）PB∥平面EAC．证明如下：

连结BD交AC于点O，连结EO，则O为BD的中点，

又∵E为PD的中点，∴EO∥PB，∴PB∥平面EAC．

（II）∵CD⊥AD，且侧面PAD⊥底面ABCD，

而侧面PAD底面ABCD＝AD，

∴CD⊥侧面PAD，∴CD⊥AE．

∵侧面PAD是正三角形，E为侧棱PD的中点，

∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD；     

（III）过E作EM⊥PC于M，连结AM，由（2）及三垂线定理知AM⊥PC．

∴∠AME为二面角A－PC－D的平面角．                               10分

由正三角形PAD及矩形ABCD，且AD＝AB，∴PD＝AD＝AB＝DC，

∴在等腰直角三角形DPC中，设AB＝a，则AE＝a，PC＝a，EM＝×a． 12分

在△AEM中，tan∠AME＝＝＝． 

即二面角A－PC－D的正切值为．        

解法二：（I）同解法一                   

（II）设N为AD中点，Q为BC中点，则因为△PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，PN⊥AD，QN⊥AD，又因为侧面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥面ABCD，QN⊥面PAD，以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系．设AD＝1，AB＝a，则，，，，，．                                                                                                   

∴，，.

∴，.

∴．又，PD，DC面PDC，

∴AE⊥平面PCD；            

（III）当a＝1时，由（2）可知：是平面PDC的法向量，

设平面PAC的法向量为，则，，

即，取x＝1，可得：y＝1，z＝．所以，．    

向量与所成角的余弦值为：．  

∴tanq＝．                                                             

又由图可知，二面角A－PC－D的平面角为锐角，所以二面角A－PC－D的平面角就是向量与所成角的补角．其正切值等于.                                       14分

共线

因为，，三点是两个平面与的公共点，所以与相交，并且于一条直线．，，三点都在这条直线上，即，，三点的位置关系是它们共线．

（1）见解析     （2）.               （3）.  

（1）本题解决的关键是取线段AC中点O,利用等腰三角形和直角三角形的性质得OP⊥OC，OP⊥OB.由线面垂直的判定定理得OP⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理得平面⊥平面  .

（2）由（1）得OB、OC、OP两两垂直，可以O为坐标原点建立空间直角坐标系，然后利用

空间向量法求出平面PBC的法向量,再根据直线与平面所成角的向量法求解即可.

(3)在(2)的基础上可知平面PAC的法向量,然后再求出平面PAM的法向量, 则根据这两个法向量夹角的余弦值为为,求出直线AM的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出B点到AM的最小值.

（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB

∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面       4分

（2） 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ),    5分

∴设平面PBC的法向量，

由得方程组

，取                           6分

∴ 

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.                             8分

（3）由题意平面PAC的法向量， 设平面PAM的法向量为 ∵又因为

∴ 取                      

∴ ∴             11分

∴B点到AM的最小值为垂直距离.

（1）证明：因为是正方形，

所以，．…………………………1分

在折叠后的△和△中，

仍有，．…………………………2分

因为，所以平面．………3分

因为平面，

所以平面平面．…………………………4分

（2）解：设三棱锥的高为，

由于三棱锥的体积为，

所以．因为，所以．…5分

以下分两种情形求的长：

①当为钝角时，如图，过点作的垂线交的延长线于点，

由（1）知平面，所以．

又，且，所以平面．

所以为三棱锥的高，即．………………………………………6分

在△中，因为，

所以

．………………7分

在△中，因为，

则．…………………………8分

所以．…………………………9分

②当为锐角时，如图，过点作的垂线交于点，

由（1）知平面，所以．

又，且，所以平面．

所以为三棱锥的高，即．

在△中，因为，

所以

．…………10分

在△中，因为，

则．

所以．…………………11分

综上可知，的长为或．

本试题主要是考查立体几何中垂直的证明，以及利用线面的垂直的判定定理和性质定理求解三棱锥的体积，得到AC的长度。