热门试卷

解：（Ⅰ）当为的中点时，平面………………………………1分

证明：取的中点、的中点，连结

B

是平行四边形……………………3分

平面…………………………4分

（Ⅱ）

平面

平面……………………………………………………………………6分

平面

平面平面……………………………………………………………7分

（Ⅲ）

平面

过作，连结，则

则为二面角的平面角………………………………………9分

设，则

在中，

又

由得…………………………………………11分

面角的正切值………………………………………………12分

,

解:

(1)∵在正方形ABCD中AD∥BC，

∴AD与平面AEC所成的角即

为BC与平面AEC所成的角

∵PB⊥面AEC，

∴BC与平面AEC所成的角的余角即为∠PBC，

又BC⊥CD且BC⊥PD，所以BC⊥PC，tan∠PBC==，

设BC与平面AEC所成的角为θ，

则tanθ=    7分

(2)∵PB⊥面AEC，∴PB⊥EC，

又空间一点E在平面ABCD上的射影是点B，AB⊥BC，

所以由三垂线定理可以得到AB⊥EC，

故EC⊥面PAB，所以EC⊥BF，

即EC与BF成        14

解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、E(1，0，2 )、F(0，2，1)．

（1）取AD1中点G，则G（1，0，1），=（1，-2，1），又=（-1，2，-1），由=，   ∴与共线．从而ＥＦ∥ＣＧ，∵CG平面ACD1，EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.………………………（6分）网

（2）设面EFB的一个法向量，由得，故可取，………（8分）取底面ABCD的一个法向量，由，所成的锐二面角余弦值的大小为．……（12分）

(Ⅰ)证明见解析。   (Ⅱ) arctan2（Ⅲ）

法一：（1）证明：连结OC，∵ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO垂直BD。（1分）∴ AO=CO=。……（2分）在AOC中，AC=，∴AO2+CO2=AC2，

∴∠AOC=900，即AO⊥OC。∴BDOC=O，∴AO⊥平面BCD。……（3分）

（2）过O作OE垂直BC于E，连结AE，∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影为OE。

∴AE⊥BC。∠AEO为二面角A—BC—D的平面角。……（7分）

在RtAEO中，AO=，OE=，∠，∴∠AEO=arctan2。

二面角A—BC—D的大小为arctan2。

（3）设点O到面ACD的距离为∵VO-ACD=VA-OCD，∴。

在ACD中，AD=CD=2，AC=，。

      而AO=，，∴。      ∴点O到平面ACD的距离为。…（13分）

解法二：（1）同解法一。

（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则O（0，0，0），A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（-1，0，0）

∵AO⊥平面DCD，    ∴平面BCD的法向量=(0,0,)。…（5分）

      设平面ABC的法向量，      ，

由。设与夹角为，

则。∴二面角A—BC—D的大小为arccos。………（8分）

（3）解：设平面ACD的法向量为又

。……（11分）

设与夹角为，则设O到平面ACD的距离为，

∵,∴O到平面ACD的距离为。（13分）

（1）利用中位线证出，再利用线面平行的判定定理即可；

（2）先证，再证，进而利用线面垂直的判定定理证明即可；

（3）

试题分析：（1）连结,

，

                                 ……4分

（2），

，

                                                ……8分

（3）、

                                                       ……12分

点评：立体几何问题，主要是考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，证明时要注意紧扣相应的判定定理和性质定理，定理中要求的条件缺一不可.

(Ⅰ)证明：见解析；  （Ⅱ）                                 

(1)解决本小题关键是根据，又二面角P-AB-D为,

，又AD=2PA,.

(2)本小题可根据体积法利用求E到平面PBC的距离.

(Ⅰ)证明：，又二面角P-AB-D为

，又AD=2PA 

有平面图形易知：AB平面APD，又，，

，且

，又，平面PAB平面PCD ……………6分

（Ⅱ）设E到平面PBC的距离为，  AE//平面PBC

所以A 到平面PBC的距离亦为,  连结AC，则，

=

                                  ………………………12分

(Ⅰ) 见解析  (Ⅱ)   （Ⅲ）

（I）证明：．

连接．

，又

即       平面．

（II）方法1 取的中点，的中点，为的中点，或其补角是与所成的角．∴连接是斜边上的中线，，

．在中，由余弦定理得，∴直线与所成的角为．

（Ⅲ）方法l 平面，过作于，连接,

是在平面上的射影，由三垂线定理得．

是二面角的平面角，，又．

在中，，．

∴二面角为．

（II）方法2建立空间直角坐标系．则

．

．∴直线与所成的角为．

（Ⅲ）方法2在坐标系中，平面的法向量．

设平面的法向量，则，

求得，

∴二面角为．