热门试卷

（1）略

（2）

建立如图所示坐标系，则

(1)证明：取PA的中点N，连结ND，则

,且

(2) 

⑴；⑵的体积为

本题考查立体几何的距离、体积的计算问题，同时考查空间想象能力、推理能力和分析解决问题的能力.

（1）是圆的直径

，又，

，；

（2）在中，

，又

底面

三棱锥的体积为

(1)由PC⊥平面ABC，得AB⊥PC.由点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，

得到CD⊥平面PAB.进一步推出AB⊥平面PBC.

(2)异面直线AP与BC所成的角为60°.

(3)所求二面角的余弦值为.

试题分析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴AB⊥PC.∵点C在平面PBA内的射影D在直线PB上，

∴CD⊥平面PAB.

又∵AB⊂平面PBA，∴AB⊥CD.

又∵CD∩PC＝C，∴AB⊥平面PBC.

(2)∵PC⊥平面ABC，

∴∠PAC为直线PA与平面ABC所成的角．

于是∠PAC＝45°，设AB＝BC＝1，则PC＝AC＝，以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0，0)，A(0,1,0)，C(1,0,0)，P(1,0，)，

＝(1，－1，)，＝(1,0,0)，

∵cos〈，〉＝＝，∴异面直线AP与BC所成的角为60°.

(3)取AC的中点E，连接BE，则＝（，，0），

∵AB＝BC，∴BE⊥AC.又∵平面PCA⊥平面ABC，

∴BE⊥平面PAC.∴是平面PAC的法向量．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，得

∴n＝(－，0,1)．

于是cos〈n，〉＝＝＝－.

又∵二面角C-PA-B为锐角，∴所求二面角的余弦值为.

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。

略

略

解一：（1）取AC的中点H，因为 AB＝BC，所以 BH⊥AC．

因为 AF＝3FC，所以 F为CH的中点．

因为 E为BC的中点，所以 EF∥BH．则EF⊥AC．

因为 △BCD是正三角形，所以 DE⊥BC．

因为 AB⊥平面BCD，所以 AB⊥DE．

因为 AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面ABC．所以 DE⊥AC．

因为 DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面DEF

（2）

（3）存在这样的点N，

当CN＝时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE＝O，连OF．

由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．

所以 当CF＝CN时，MN∥OF．所以 CN＝

解二：建立直角坐标系

证明：（1）∵、分别是、的中点，∴∥．           （1分）

∵底面是矩形，∴∥．∴∥．             （2分）

又平面，平面，

∴∥平面                                   （4分）

（2）∵， ， ∴．   （5分）

∵底面是矩形，∴．

又，

∴．                                  （7分）

∵，   ∴平面．            （8分）