热门试卷

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本试题主要是简单几何体的运用。

解：由已知易得

，

　解法一：

　　证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD，

　　∴PA⊥BC

　　∵∠ACB=90°

　　∴BC⊥AC

　　又

　　∴BC⊥平面PAC　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　解：（II）∵AB//CD，∠DAB=120°

　　∴∠ADC=60°，又AD=CD=1

　　∴△ADC为等边三角形，且AC=1　　　　　　 5分

　　取AC的中点O，则DO⊥AC

　　∵PA⊥底面ABCD

　　∴PA⊥DO

　　∴DO⊥平面PAC

　　过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH，由三垂线定理知DH⊥PC

　　∴∠DHO为二面角D—PC—A的平面角　　　　　　　　　　　　 7分

　　由　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

　　∴二面角D—PC—A的大小为arctan2　　　　　　　　　　　　　　9分

　　（III）设点B到平面PCD的距离为d

　　∵AB//CD，平面PCD

　　∴AB//平面PCD

　　∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离　　　　　 11分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

　　解法二：

　　证明：（I）同解法一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　解：（II）取CD的中点E，则AE⊥CD

　　∴AE⊥AB

　　又PA⊥底面ABCD，底面ABCD

　　∴PA⊥AE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

　　建立空间直角坐标系，如图。则

A（0，0，0），

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

　　设为平面PAC的一个法向量

　　为平面PDC的一个法向量，则

　　，

　　可取；

　　，可取　9分

　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

　　故所求二面角的大小为　　　　　　　　　　　　　 11分

　　（III）又B（0，2，0），　　　　　　　　　　　　　　 12分

　　由（II）取平面PCD的一个法向量

　　∴点B到平面PCD的距离为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分

（1）见解析；（2）；（3）.

（1）先根据条件在面内的交线与直线BC垂直，则证明线面垂直；（2）利用线面角的定义找出线面角，然后在三角形内求出角的大小；（3）利用二面角的定义作出二面角，然后在三角形利用勾股定理求出二面角的平面角

解：（1），平面

  又  平面.

（2）平面  为与平面所成的角

中，  

即与平面所成的角为.

（3），   为的平面角.

中，，     二面角的平面角为

18．解法1:取的中点，连.

∵，∴. 又⊥平面.

以为原点建立空间直角坐标系，如图，

则已知条件有：，

……………………………………2分

．

设平面的法向量为

则由

及

解得．可取…………………4分

又⊥平面. ∴．又，∴⊥平面．

∴平面的法向量可取为

∵∴⊥，∴. ………6分

(2)平面的一个法向量记为，

则，即

（Ⅰ） 见解析 （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）

 （Ⅰ）证明：连    

四边形是平行四边形      ……2分   则 

又平面，平面

//平面                        ………5分

（Ⅱ） 由已知得则         …6分

由长方体的特征可知：平面

而平面， 则                 ………9分

平面 又平面平面平面  10分

（Ⅲ）四面体D1B1AC的体积

                          ………14分

（1）略

（2）二面角的大小为．

解法：（1）如图，建立空间直角坐标系．

设，则

，．

取的中点，则．

平面平面，

所以平面．

（2）不妨设，则．

中点

又，，

所以向量和的夹角等于二面角的平面角．

．

所以二面角的大小为．