空间几何体的结构
共7713题

空间几何体的结构
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题型：简答题

简答题

如图，在五面体中，平面，，，为的中点，.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）证明：平面平面；

（3）求与平面所成角的正弦值.

正确答案

（1）；（2）略；（3），到面的距离是，故.

题型：简答题

简答题

2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分， 4条直线将一个平面最多分成11部分，……；,,；……

（1）条直线将一个平面最多分成多少个部分(>1)?证明你的结论；

（2）个平面最多将空间分割成多少个部分(>2)?证明你的结论

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）如图所示，已知矩形ABCD中，AB=，AD=1，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上

（1）求证：平面ADC⊥平面BCD；

（2）求点C到平面ABD的距离；

（3）若E为BD中点，求二面角B—AD—E的大小。

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知：如图，长方体ABCD—中，AB=BC=4，，E为的中点，为下底面正方形的中心.求：（I）二面角C—AB—的正切值；

（II）异面直线AB与所成角的正切值；

（III）三棱锥——ABE的体积.

正确答案

（1）4（2）（3）16

（Ⅰ）取上底面的中心，作于，连和．由长方体的性质，得平面，由三垂线定理，得

则为二面角的平面角．

在中，

（Ⅱ）取的中点G，连和．

易证明，则为所求

．．

在中，

（Ⅲ）连，，由易证明平面．

∴

题型：简答题

简答题

如图所示，小明设计了某个产品的包装盒，他少设计了其中一部分，请你把它补上，使其成为两边均有盖的正方体盒子．

(1)你有__________种弥补的办法.

(2)任意画出一种成功的设计图．

正确答案

(1)4 (2)设计如图

解析：本题考查正方体的展开图，因正方体有六个面，图中只画出了五个小正方形，所以应当添画一个小正方形.问题在于在哪儿添画一个正方形,图中有四个小正方形相连成一条直线,想象将图还原成正方体后,这四个相连成一条直线的小正方形应该形成一个环,于是所缺少的面应该是剩下的那个小正方形所对的面,这只有在图中连成一条直线的四个小正方形的任意一个的下面添加,于是就有4种情况.

题型：简答题

简答题

如图，三棱锥中，底面，，，点、分别是、的中点.

（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的余弦值。

正确答案

(Ⅰ) 略 (Ⅱ)

：方法（一）

(Ⅰ)由已知可得为等腰直角三角形，则．

由平面，平面，则．

又，，

则平面，由平面，得．

由中位线定理得，，于是，

又，所以平面．

(Ⅱ)已证明平面，又平面，则．

已证明，又，则平面．

因为平面，平面，所以，．

由二面角的定义，得为二面角的平面角．

设，可求得，，

在中，可求得，在中，可求得，

在中，由余弦定理得，．则为所求．

方法（二）如图建立空间直角坐标系，设，

可求出以下各点的坐标：

A（2，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），

P（0，0，2），E（1，0，1），F（1，1，1）

(Ⅰ)，，

有，，

于是，，又，

则平面．

(Ⅱ)，有，，

于是，，由二面角定义，向量与的夹角为所求．

，所以为所求．

题型：填空题

填空题

正四面体ABCD的外接球的球心为0,E是BC的中点，则直线OE与平面BCD所成角的正切值为 .

正确答案

如图，设正四面体边长为1，就是直线OE与平面BCD所成的角，计算得，根据得，因为，展开上式得，，

题型：填空题

填空题

如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=，则异面直线AD与BC所成角的大小为．

正确答案

60°

取AC中点H，则HE//BC，HF//AD，即∠EHF就是异面直线AD与BC所成的角或其补角，且EH=1，FH=1，EF=√3，在三角形EFH中，解得∠EHF=120°，所以异面直线AD和BC所成角是60°

题型：填空题

填空题

三棱锥中，,,,,若四点在同一个球面上，则在球面上两点之间的球面距离是_____ .

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分13分）如图甲，直角梯形中，，，点、分别在，上，且，，，，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当的长为何值时，

二面角的大小为？

正确答案

(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)

法一：（Ⅰ）MB//NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

MB//平面DNC.

同理MA//平面DNC，又MAMB="M," 且MA,MB平面MAB.

. (6分)

（Ⅱ）过N作NH交BC延长线于H，连HN，

平面AMND平面MNCB，DNMN,

DN平面MBCN，从而,

为二面角D-BC-N的平面角. (9分)

由MB=4，BC=2，知，

. (10分)

由条件知：（13分）

解法二：如图，以点N为坐标原点，以NM，NC，ND所在直线分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系易得NC=3，MN=，

设，则.

（I）.

，

∵，

∴与平面共面，又，. (6分)

（II）设平面DBC的法向量，

则，令，则，

∴. （8分）又平面NBC的法向量. （9分）

即：又即（13分）

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