- 空间几何体的结构
- 共7713题
如图，正四面体ABCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，给出下列四个命题：
①多面体O-ABC是正三棱锥；
②直线OB∥平面ACD；
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D-OB-A为45°．
其中真命题有______（写出所有真命题的序号）．
正确答案
①如图ABCD为正四面体，
∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，
∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，
连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，
∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，
∴N为底面△ABC中心，
∴O-ABC是正三棱锥，故A正确．
②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．
则②不正确，
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D-OB-A为45°．
命题③④显然成立．
故答案为：①③④．
已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为______（结果保留π）．
正确答案
设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h
∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，
∴
因此，圆锥的高h=
∴圆锥的体积为：V=
故答案为：12π
正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与AB、AD、AA1所成角分别为α、β、θ，则cos2α+cos2β+cos2θ=（ ）。
正确答案
1
用长、宽分别为a、b（a＞b）的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为______．
正确答案
若以长a的边为底面周长，则圆柱的高为h=b
则圆柱的底面周长a=2πr
∴r=
则圆柱的体积V=π•r2•h=
若以长b的边为底面周长，则圆柱的高为h=a
则圆柱的底面周长b=2πr
∴r=
则圆柱的体积V=π•r2•h=
故答案为：
三条直线两两异面，则称为一组“Γ型线”，任选正方体12条面对角线中的三条，“Γ型线”的组数为（ ）。
正确答案
24
把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，若不计损耗，则圆柱的高为______．
正确答案
设圆柱的高为h，3小球的半径为R，
由根据题意：3×
∴h=4R
故答案为：4R．
一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，应该怎样画线？
正确答案
过平面VAC内一点P作直线DE∥AC，交VA于D，交VC于E；
过平面VBA内一点D作直线DF∥VB，交AB于F，
则DE，DF所确定的截面为所求．
如图，棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，
（1）求证：E、F、B、D四点共面；
（2）求四边形EFDB的面积．
正确答案
（1）证明：如答图所示，连接B1D1，
在△C1B1D1中，C1E=EB1，C1F=FD1，
∴EF∥B1D1，且EF=
又A1A
∴四边形BB1D1D是平行四边形．
∴B1D1∥BD，EF∥BD，
∴E、F、D、B四点共面
（2）由AB=a，知BD=B1D1=
DF=BE=
过F作FH⊥DB于H，则DH=
∴FH=
四边形的面积为SEFBD=
已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM=n，求经过SO的中点且平行于底面的截面△A1B1C1的面积．
正确答案
设底面正三角形的边长为a，
在RT△SOM中SO=h，SM=n，
∴OM=
又MO=
∴s△ABC=
∴截面面积为
若正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥外接球的半径与侧棱长之比为______．
正确答案
三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则
它的对角线的长度为：
球的半径为：
则该正三棱锥外接球的半径与侧棱长之比为
故答案为：
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