- 空间几何体的结构
- 共7713题
如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个三棱锥S-ABC，求三棱锥S-ABC的体积与剩下的几何体体积的比。
正确答案
解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
即SA=a，SB=b，SC=c
由长方体，得SA，SB，SC两两垂直
所以
于是
故剩下几何体的体积
因此
如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm，两底面直径分别为40cm和30cm；现有制作这种纸篓的塑料制品395000 π cm2，问最多可以做这种纸篓多少个？
正确答案
S=π（r'2+r′l+rl）
=π（152+15×50+20×50）
=1975π（cm2）
n=
答：最多可以做这种纸篓200个．
已知圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm，高为3cm，求圆台的体积．
正确答案
∵圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm，高为3cm，
∴圆台的体积V=
多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？
正确答案
解：多面体至少有4个面，它是三棱锥．
在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是______．
正确答案
三棱锥的侧面展开图，如图，
△ADE的周长的最小值为AA1，
在△PAB中，sin
在△APA1中，∴sin
所以AA1=2PA×sin
故答案为：11．
已知一个棱锥被平行于底面的两个平面截为三部分，最上面的部分是一个小棱锥，其余两部分都是棱台，若这三部分的高相等，则上、中、下三部分的体积之比为______．
正确答案
由已知中从顶点起将锥体（圆锥或棱锥）的高三等分，过两个分点分别作平行于底面的截面，
则以分别以原来底面和两个截面为底面的锥体，是相似几何体
相似比为1：2：3
根据相似的性质三个锥体的相似比为：13：23：33=1：8：27
则上、中、下三部分的体积之比V1：V2：V3=1：（8-1）：（27-8）=1：7：19
故答案为：1：7：19．
已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD-A′B′C′D′内接于圆锥，求这个正方体的棱长．
正确答案
解：设正方体棱长为a，
如右图作出组合体的轴截面，
则OS=h，OP=r，OA=
∵△SO′A′∽△SOP，
∴
∴a=
一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？在下图中画出来。
正确答案
解：3个，
如下图所示：
如图，长方形的三个面的对角线长分别是，b，c，求长方体对角线AC1的长。
正确答案
解：
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为θ，二面角A1-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．
正确答案
（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，得
AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，
所以AD⊥BC．
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC．
又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA1=φ，
于是在Rt△ADC中，sinθ=
由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又0＜θ，φ＜
解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AA1=a，AC=b，
AB=c，则B（0，0，0），A（0，c，0），C(
于是
设平面A1BC的一个法向量为n=（x，y，z），
则由
可取n=（0，-a，c），于是n•
所以sinφ=
于是由c＜b，得
即sinθ＜sinφ，又0＜θ，φ＜
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