分段函数的解析式求法及其图象的作法
共37题

· 分段函数的解析式求法及其图象的作法

分段函数的解析式求法及其图象的作法
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题型：填空题

填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

题型：简答题

简答题 · 18 分

定义区间，，，的长度均为，其中。

（1）已知函数的定义域为，值域为，写出区间长度的最大值与最小值。

（2）已知函数的定义域为实数集,满足（是的非空真子集） . 集合, ,求的值域所在区间长度的总和，

（3）定义函数，判断函数在区间上是否有零点，并求不等式解集区间的长度总和。

正确答案

（1），（2）（3）5

解析

（1），

解得或，

，解得，

画图可得：区间长度的最大值为，

最小值为.

（2）

当，，

所以时，

所以值域区间长度总和为。

（3）由于当时，取，，

取，，

所以方程在区间内有一个解

考虑函数，由于当时，，故在区间内，不存在使的实数；

对于集中的任一个，由于当时，

取，，取，

又因为函数在区间内单调递减，

所以方程在区间内各有一个解；

依次记这个解为，

从而不等式的解集是，故得所有区间长度的总和为

………①

对进行同分处理，分子记为

如将展开，其最高项系数为，设

……②

又有 …………③

对比②③中的系数，

可得：

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数零点的判断和求解

题型：单选题

单选题 · 5 分

设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则的面积的最小值为( )

正确答案

解析

略

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于【】

正确答案

解析

f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的值

题型：单选题

单选题 · 5 分

记，，设为平面向量，则（）

正确答案

解析

由向量运算的平行四边形法可知与的大小不确定，平行四边形法可知所对的角大于或等于，由余弦定理知，

（或）

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法向量的模

题型：单选题

单选题 · 5 分

若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①、都在函数的图像上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”），已知函数=，则此函数的“友好点对”有（）对。

正确答案

解析

根据题意可知只须作出函数的图象关于原点对称的图象，确定它与函数交点个数即可,由图象可知，只有一个交点，选B

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的图象

题型：简答题

简答题 · 16 分

定义：对于函数，若存在非零常数，使函数对于定义域内的任意实数，都有，则称函数是广义周期函数，其中称为函数的广义周期，称为周距。

（1）证明函数是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距的值；

（2）试求一个函数，使（为常数，）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期和周距；

（3）设函数是周期的周期函数，当函数在上的值域为时，求在上的最大值和最小值。

正确答案

见解析

解析

（1），

，（非零常数）

所以函数是广义周期函数，它的周距为2。-----（4分）

（2）设，则

（非零常数）所以是广义周期函数，且。-----------------（ 9分）

（3），

所以是广义周期函数，且。------------------------------------------（10分）

设满足，

由得：

，

又知道在区间上的最小值是在上获得的，而，所以在上的最小值为。--------------------（ 13分）

由得得：

，

又知道在区间上的最大值是在上获得的，

而，所以在上的最大值为23

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法

题型：简答题

简答题 · 12 分

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X（单位：t,100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。

（1）将T表示为X的函数；

（2）根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量X∈[100,110），则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110）的频率），求T的数学期望。

正确答案

（1）；（2） 0.7 ；（3） 59 400

解析

（1）当X∈[100,130）时，T＝500X－300（130－X）＝800X－39 000，

当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.

所以

（2）由（1）知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

（3）依题意可得T的分布列为

所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法离散型随机变量及其分布列、均值与方差频率分布直方图用样本的频率分布估计总体分布

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数f（x）=x﹣[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f（x）=kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（　　）

正确答案

解析

函数f（x）=x﹣[x]的图象如下图所示：

y=kx+k表示恒过A（﹣1，0）点斜率为k的直线

若方程f（x）=kx+k有3个相异的实根。

则函数f（x）=x﹣[x]与函数f（x）=kx+k的图象有且仅有3个交点

由图可得：

当y=kx+k过（2，1）点时，k=，

当y=kx+k过（3，1）点时，k=，

当y=kx+k过（﹣2，﹣1）点时，k=﹣1，

当y=kx+k过（﹣3，﹣1）点时，k=﹣，

则实数k满足 ≤k＜或﹣1＜k≤﹣。

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法

题型：填空题

填空题 · 4 分

12．设是定义在上且周期为的函数，在区间上，，其中，若，则的值为（）．

正确答案

解析

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知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的周期性函数的值

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