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题型:简答题
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简答题 · 13 分

我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表:

(1)求出表中的值,并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图;

(2)若我区参加本次考试的学生有人,试估计这次测试中我区成绩在分以上的人数;

(3)若该校教师拟从分数不超过的学生中选取人进行个案分析,求被选中人分数不超过分的概率。

正确答案

见解析

解析

(1)解:由频率分布表得,                   …………1分

所以,                   …………2分

,  …………3分

…………5分

(2)由题意知,全区分以上学生估计为人,………7分
(3)设考试成绩在内的人分别为

考试成绩在内的人分别为

从不超过分的人中,任意抽取人的结果有:


共有15个, …………10分

设抽取的人的分数均不大于分为事件

则事件含有个结果:,   …………11分

 ,                                 …………13分

知识点

圆的方程的综合应用
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。

(1)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;

(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由。

正确答案

(1) (0,),(0,); (2) 存在,使得在其对应的椭圆x2=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH

解析

(1)如图1,设M(x,y),A(x0,y0),则由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=|y|。①

因为A点在单位圆上运动,所以x02+y02=1.②

将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2=1(m>0,且m≠1)。

因为m∈(0,1)∪(1,+∞),所以

当0<m<1时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,

两焦点坐标分别为(,0),(,0);

当m>1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆,

两焦点坐标分别为(0,),(0,)。

(2)方法一:如图2,3,k>0,设P(x1,kx1),H(x2,y2),则Q(-x1,-kx1),N(0,kx1),

直线QN的方程为y=2kx+kx1,将其代入椭圆C的方程并整理可得

(m2+4k2)x2+4k2x1x+k2x12-m2=0.

依题意可知此方程的两根为-x1,x2,于是由韦达定理可得

-x1+x2,即.

因为点H在直线QN上,所以y2-kx1=2kx2.

于是=(-2x1,-2kx1),=(x2-x1,y2-kx1)=()。

而PQ⊥PH等价于

即2-m2=0.又m>0,所以

故存在,使得在其对应的椭圆x2=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH.

图1              图2(0<m<1)    图3(m>1)

方法二:如图2,3,x1∈(0,1),设P(x1,y1),H(x2,y2),则Q(-x1,-y1),N(0,y1)。

因为P,H两点在椭圆C上,

所以两式相减可得

m2(x12-x22)+(y12-y22)=0.③

依题意,由点P在第一象限可知,点H也在第一象限,且P,H不重合。

故(x1-x2)(x1+x2)≠0,于是由③式可得

.④

又Q,N,H三点共线,所以kQN=kQH,即.

于是由④式可得.

而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH=-1,即.

又m>0,得.

故存在,使得在其对应的椭圆x2=1上,对任意的k>0,都有PQ⊥PH

知识点

圆的方程的综合应用
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题型: 单选题
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单选题 · 5       分

已知集合,集合,则()

A

B

C

D

正确答案

D

解析

∵A∪B={1,2}∪{2,3}={1,2,3},U={1,2,3,4},

U(A∪B)={4},故选D。

知识点

圆的方程的综合应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

过点与圆相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线方程是(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

圆的方程的综合应用
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题型:简答题
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简答题 · 15 分

已知a∈R,函数f(x)=4x3-2ax+a。

(1)求f(x)的单调区间;

(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+|2-a|>0。

正确答案

见解析

解析

(1)解:由题意得f′(x)=12x2-2a。

当a≤0时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞)。

当a>0时,f′(x)=12(x-)(x+),

此时函数f(x)的单调递增区间为

(-∞,]和[,+∞)。

单调递减区间为[]。

(2)证明:由于0≤x≤1,故当a≤2时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2。

当a>2时,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2。

设g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,

则g′(x)=6x2-2=6(x-)(x+),

于是

所以,g(x)min=g()=1->0。

所以当0≤x≤1时,2x3-2x+1>0。

故f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0。

知识点

圆的方程的综合应用
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