双曲线的几何性质
共220题

· 双曲线的几何性质

双曲线的几何性质
共220题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：填空题

填空题 · 5 分

设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是　　。

正确答案

2x2﹣2y2=1

解析

解：椭圆+y2=1中c=1

∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点

∴双曲线中c=1，

∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数。

∴双曲线的离心率为，

∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=

∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是　　。

正确答案

4x﹣3y﹣20=0

解析

∵双曲线的方程为

∴a2=9，b2=16，得c==5

因此，该双曲线右焦点的坐标为F（5，0）

∵双曲线的渐近线方程为y=±x

∴双曲线经过一、三象限的渐近线斜率为k=

∴经过双曲线右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是y=（x﹣5）

化为一般式，得4x﹣3y﹣20=0。

故答案为：4x﹣3y﹣20=0

知识点

双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点

（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求推圆方程；

（2）设过F的直线L交椭圆于A,B两点，若直线L绕点F任意转动，恒有<,求a的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：

（2）①当L的斜率不存在时其方程为x=1

从而由<得

②若L的斜率存在，设其方程为y=k(x-1)

则由<得

，从而化简得：

综上得：a的取值范围为。

（说明：本题也可由余弦定理及向量知识将⑵转化为再去做）

知识点

双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图所示，平面，底面为菱形,为的中点。

（1）求证：平面。

（2）求二面角的正切值。

正确答案

见解析。

解析

（1）

（2）

由（1）可知，BO⊥平面PAC，故在平面PAC内，作OM⊥A，

连结BM（如图），则∠BMO为二面角的平

面角，在中，易知

即二面角的正切值为

知识点

正弦函数的定义域和值域双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知定义在实数集上的函数 N，其导函数记为，且满足，其中、、为常数，.设函数R且.

（1）求实数的值；

（2）若函数无极值点，其导函数有零点，求m的值；

（2）求函数在的图象上任一点处的切线斜率k的最大值。

正确答案

（1）（2）

（3）

解析

（1）因为，

所以，整理得：

又，所以.…………………………………………3分

（2）因为，

所以.…………………………4分

由条件.……………………5分

因为有零点而无极值点,表明该零点左右同号，又，所以二次方程有相同实根，即

解得.…………………………………………8分

（3）由（1）知，，因为，所以[12，+∞]，所以①当或时，恒成立，所以在（0，]上递增，

故当时，k取得最大值，且最大值为，…………10分

②当时，由得，而.

若，则，k单调递增；

若，则，k单调递减。

故当时，k取得最大值，

且最大值等于.…………………13分

综上，…………………………14分

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

双曲线的左、右焦点分别为和，左、右顶点分别为和，过焦点与轴垂直的直线和双曲线的一个交点为，若是和的等比中项，则该双曲线的离心率为

正确答案

解析

由题意可知，即，经化简可得，则.

知识点

等比数列的性质及应用双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

定义：对于两个双曲线,,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称,为共轭双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别为。

（1）写出的渐近线方程（不用证明）；

（2）试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线？请加以证明。

（3）求值：。

正确答案

见解析。

解析

（1）的渐近线方程都是：和。…………3分

（2）双曲线是共轭双曲线。…………4分

证明如下：对于，实轴和虚轴所在的直线是和的角平分线所

的直线，所以的实轴所在直线为，

虚轴所在直线为，…………6分

实轴和的交点到原点的距离的平方。

又，所以从而得；…………8分

同理对于，实轴所在直线为，

虚轴所在直线为，

实轴和的交点到原点的距离的平方

，所以，从而得。

综上所述，双曲线是共轭双曲线。…………10分

（3）由（2）易得，，

所以=1 。…………13分

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组，那么的取值范围是

A(3, 7)

B(9, 25)

C(13, 49)

D(9, 49)

正确答案

解析

由得，

又，∴，∴.

∵是上的增函数，∴＜，

∴

又，结合图象知为半圆内的点到原点的距离，故，∴

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是（）

正确答案

解析

略

知识点

向量在几何中的应用双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

离心率为的椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线的离心率等于

正确答案

解析

解析：

设椭圆：，双曲线：，则，，，椭圆顶点、、焦点到双曲线渐近线的距离依次为、、，从而，所以，即，所以，，，选C。

知识点

等差数列的性质及应用椭圆的几何性质双曲线的几何性质

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 理科数学 > 双曲线的几何性质

扫码查看完整答案与解析