- 带电粒子在电场中运动的综合应用
- 共1139题
如图所示，带等量异种电荷的两平行金属板竖直放置（M板带正电，N板带负电），板间距为d=80cm，板长为L，板间电压为U=100V．两极板上边缘连线的中点处有一用水平轻质绝缘细线拴接的完全相同的小球A和B组成的装置Q，Q处于静止状态，该装置中两球之间有一处于压缩状态的绝缘轻质小弹簧（球与弹簧不拴接），左边A球带正电，电荷量为q=4×10-5C，右边B球不带电，两球质量均为m=1.0×10-3kg．某时刻，装置Q中细线突然断裂，A、B两球立即同时获得大小相等、方向相反的速度 （弹簧恢复原长）．若A、B之间弹簧被压缩时所具有的弹性势能为1.0×10-3J，小球A、B均可视为质点，Q装置中弹簧的长度不计，小球带电不影响板间匀强电场，不计空气阻力，取g=l0m/s2．求：
（1）为使小球不与金属板相碰，金属板长度L应满足什么条件？
（2）当小球B飞离电场恰好不与金属板相碰时，小球A飞离电场时的动能是多大？
（3）从两小球弹开进入电场开始，到两小球间水平距离为30cm时，小球A的电势能增加了多少？
正确答案
小球分离的过程中机械能守恒：E=2×
小球分离时获得的初速度：v0=1m/s
进入电场后A球在水平方向做匀减速运动，B做匀速运动，所以是B先碰到极板．B向右做平抛运动，时间：
t=
竖直方向的位移：y=
即为使小球不与金属板相碰，金属板的长度：L＜0.8m
（2）水平方向A球向左做匀减速运动，其加速度a=
A球飞离电场时的位移：s1=v0t-
由动能定律，A球离开电场时的动能：
EK=
（3）两小球进入电场后，竖直方向都做自由落体运动，因此两小球在运动的过程中始终位于同一水平线上，
当两球间的距离是30cm时，v0
解得：
此时，A球水平位移为；sA=v0
球A的电势能增加：△E=qEsA=5×10-4J
答：（1）为使小球不与金属板相碰，金属板长度L应满足L＜0.8m；
（2）当小球B飞离电场恰好不与金属板相碰时，小球A飞离电场时的动能是8.5×10-3J；
（3）从两小球弹开进入电场开始，到两小球间水平距离为30cm时，小球A的电势能增加了5×10-4J．
如图，板间距为d、板长为4d的水平金属板A和B上下正对放置，并接在电源上．现有一质量为m、带电量+q的质点沿两板中心线以某一速度水平射入，当两板间电压U=U0，且A接负时，该质点就沿两板中心线射出；A接正时，该质点就射到B板距左端为d的C处．取重力加速度为g，不计空气阻力．
（1）求质点射入两板时的速度；
（2）当A接负时，为使带电质点能够从两板间射出，求：两板所加恒定电压U的范围．
正确答案
（1）当两板加上U0电压且A板为负时，有：
q
A板为正时，设带电质点射入两极板时的速度为v0，向下运动的加速度为a，经时间t射到C点，有：
又水平方向有 d=v0t…③
竖直方向有 
由①②③④得：v0=
（2）要使带电质点恰好能从两板射出，设它在竖直方向运动的加速度为a1、时间为t1，应有：
t1=
由⑥⑦⑧得：a1=
若a1的方向向上，设两板所加恒定电压为U1，有：
若a1的方向向下，设两板所加恒定电压为U2，有：
mg-
⑧⑨⑩解得：U1=
所以，所加恒定电压范围为：
答：（1）求质点射入两板时的速度为
（2）当A接负时，为使带电质点能够从两板间射出，两板所加恒定电压U的范围为
如图（a）所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板之间有一带负电的质点P．已知若在A、B间加电压Uo，则质点P可以静止平衡．现在A、B间加上如图（b）所示的随时间t变化的电压u．在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为零．已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图（b）中u改变的各时刻t1、t2、t3及tn的表达式．（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次．）
正确答案
设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U0时，有
当两板间的电压为2U0时，P的加速度向上，其大小为a，则
解得a=g．
当两板间的电压为零时，P自由下落，加速度为g，方向向下．
在t=0时，两板间的电压为2U0，P自A、B间的中点向上做初速度为零的匀加速运动，加速度为g．设经过时间τ1，P的速度变为v1，此时使电压变为零，让P在重力作用下做匀减速运动，再经过时间τ1′，P正好到达A板且速度为零，故有
v1=gτ1，0=v1-gτ1′，
由以上各式，得
τ1=τ1′，τ1=
因为t1=τ1，得t1=
在重力作用下，P由A板处向下做匀加速运动，经过时间τ2，速度变为v2，方向向下，这时加上电压使P做匀减速运动，经过时间τ2′，P到达B板且速度为零，故有
v2=gτ2，0=v2-gτ2′，
d=
由以上各式，得τ2=τ2′，τ2=
因为t2=t1+τ1′+τ2，
得t2=（
在电场力与重力的合力作用下，P由B板处向上做匀加速运动，经过时间τ3，速度变为v3，此时使电压变为零，让P在重力作用下做匀减速运动．经过时间τ3′，P正好到达A板且速度为零，故有
v3=gτ3，0=v3-gτ3′，
d=
由上得τ3=τ3′，τ3=
因为t3=t2+τ2′+τ3，
得t3=（
根据上面分析，因重力作用，P由A板向下做匀加速运动，经过时间τ2，再加上电压，经过时间τ2′，P到达B且速度为零，因为t4=t3+τ3′+τ2，
得t4=（
同样分析可得
tn=（
故图（b）中u改变的各时刻t1=
如图，水平地面上方被竖直线MN分隔成两部分，M点左侧地面粗糙，与B球间的动摩擦因数为μ=0.5，右侧光滑．MN右侧空间有一范围足够大的匀强电场，在O点用长为R=5m的轻质绝缘细绳，拴一个质量mA=0.04kg，带电量为q=+2×10-4C的小球A，在竖直平面内以v=10m/s的速度做顺时针匀速圆周运动，小球A运动到最低点时与地面刚好不接触．处于原长的弹簧左端连在墙上，右端与不带电的小球B接触但不粘连，B球的质量mB=0.02kg，此时B球刚好位于M点．现用水平向左的推力将B球缓慢推至P点（弹簧仍在弹性限度内），MP之间的距离为L=10cm，推力所做的功是W=0.27J，当撤去推力后，B球沿地面向右滑动恰好能和A球在最低点处发生正碰，并瞬间成为一个整体C（A、B、C均可视为质点），速度大小变为5m/s，方向向左；碰撞前后电荷量保持不变，碰后瞬间立即把匀强电场的场强大小变为E=6×103N/C，电场方向不变，求：
（1）在A、B两球碰撞前匀强电场的大小和方向；
（2）弹簧具有的最大弹性势能；
（3）整体C运动到最高点时绳的拉力大小．（取g=10m/s2）
正确答案
（1）要使小球在竖直平面内做匀速圆周运动，必须满足：
F电=Eq=mAg
所以：E=
方向竖直向上
（2）由功能关系得，弹簧具有的最大弹性势能为：Ep=W-μmBgl=0.26J
（3）设小球B运动到M点时速度为vB，由功能关系得：
EP-μmBgL=
解得：vB=5m/s
两球碰后结合为C，设C的速度为v1，由动量守恒定律得：
mAv-mBvB=mCv1解得：v1=5m/s
电场变化后，因E'q-mCg=0.6N
mc
mc
所以C不做圆周运动，而做类似平抛运动，设经过时间t绳子在Q出绷紧，由运动学规律得到：
x=v1t y=
a=
可得：t=1s
vy=at=10m/s
x=y=r=5m
即：绳子绷紧时恰好位于水平位置，水平方向速度变为零，以竖直分速度vy开始做圆周运动；
设到最高点时速度为v2，由动能定理得：
解得v2=10
最高点，由牛顿运动定律得：T+mcg=qE=mc
解得：T=3N
答：（1）在A、B两球碰撞前匀强电场的大小为2×103N/C，方向竖直向上；
（2）弹簧具有的最大弹性势能为0.26J；
（3）整体C运动到最高点时绳的拉力大小为3N．
如图所示，-束粒子流经U1=5000 V的加速电压加速后，从偏转电场两极板间的中点处垂直进入平行板问，偏转电压U2=200V．若两板间距d=1.0 cm，板长L=5.0 cm，粒子的比荷约为1.0×108C/kg，不计粒子重力及刚进入加速电场时的初速度．求：
（1）粒子从加速电场射出时速度V0的大小
（2）粒子从偏转电场射出时的偏转量Y．
正确答案
（1）粒子在加速电场中加速：有 qU=
解得 V0=1.0 X 106 m/s
（2）进入偏转电场后，粒子做类平抛运动，
qE=ma、E=
水平方向上匀速直线运动，则：t=
由y=
解得y=
答：（1）粒子从加速电场射出时速度V0=1.0 X 106 m/s；（2）粒子从偏转电场射出时的偏转量Y=0.25cm．
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