- 带电粒子在电场中运动的综合应用
- 共1139题
如图所示，在xoy平面内，第I象限中有匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向，在x轴的下方有匀强磁场，磁感强度大小为B，方向垂直于纸面向里，今有一个质量为m，电荷量为e的电子（不计重力），从y轴上的P点以初速度v0垂直于电场方向进入电场．经电场偏转后，沿着与x轴正方向成45°进入磁场，并能返回到原出发点P．求：
（1）作出电子运动轨迹的示意图，并说明电子的运动情况．
（2）P点离坐标原点的距离h．
（3）电子从P点出发经多长时间第一次返回P点？
正确答案
（1）电子运动的轨迹示意图如右图所示，电子进入电场从P到A，做类平抛运动（或匀变速曲线运动）；进入磁场从A到C再到D，做匀速圆周运动；离开磁场从D到P，做匀速直线运动．
（2）电子经过A点的速度大小：v=
电子从P到A过程，由动能定理得：eEh=
解得，h=
（3）电子从P到A的过程，加速度为 a=
从A到C再到D，由洛仑兹力提供向心力，
则有 Bev=m
周期为 T=
由几何知识得：电子在磁场中运动过程速度的偏向角为270°
则电子在磁场中运动的时间为 t2=
从D到P的运动过程：由几何知识得：
运动时间为：t3=
故t=t1+t2+t3=
答：
（1）作出电子运动轨迹的示意图如图，电子的运动情况是电子进入电场从P到A，做类平抛运动（或匀变速曲线运动）；进入磁场从A到C再到D，做匀速圆周运动；离开磁场从D到P，做匀速直线运动．
（2）P点离坐标原点的距离h是
（3）电子从P点出发经过
直角坐标系xoy界线OM两侧区域分别有如图所示电、磁场（第三象限除外），匀强磁场磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，匀强电场场强E=vB、方向沿x轴负方向．一不计重力的带正电的粒子，从坐标原点O以速度为v、沿x轴负方向射入磁场，随后从界线上的P点垂直电场方向进入电场，并最终飞离电、磁场区域．已知粒子的电荷量为q，质量为m，求：
（1）粒子在磁场中运动的轨迹半径R及P点的位置坐标；
（2）粒子在磁场中运动的时间；
（3）粒子最终飞离电、磁场区域的位置坐标．
正确答案
（1）粒子在磁场中运动时，由洛仑兹力提供向心力，有：
qvB=m
如图所示，由几何关系可知，粒子经过界线OM的位置P的坐标为（
（2）粒子在磁场中运动的周期T=
由几何知识得知，粒子在磁场中轨迹对应的圆心角为θ=270°
则在磁场中运动的时间 t=
（3）粒子从P点射入电场将做类平抛运动，如图所示，有：
R=
x=vt ②
其中：a=
联立①②③式解得 x=
故粒子最终飞离电、磁场区域的位置坐标为[0，-（
答：（1）粒子在磁场中运动的轨迹半径R是
（2）粒子在磁场中运动的时间是
（3）粒子最终飞离电、磁场区域的位置坐标是[0，-（
在水平地面上方的足够大的真空室内存在着匀强电场和匀强磁场共存的区域，且电场与磁场的方向始终平行，在距离水平地面的某一高度处，有一个带电量为q、质量为m的带负电的质点，以垂直于电场方向的水平初速度v0进入该真空室内，取重力加速度为g．求：
（1）若要使带电质点进入真空室后做半径为R的匀速圆周运动，求磁感应强度B0的大小及所有可能的方向；
（2）当磁感应强度的大小变为B时，为保证带电质点进入真空室后做匀速直线运动，求此时电场强度E的大小和方向应满足的条件；
（3）若带电质点在满足第（2）问条件下运动到空中某一位置M点时立即撤去磁场，此后运动到空中另一位置N点时的速度大小为v，求M、N两点间的竖直高度H及经过N点时重力做功的功率．
正确答案
（1）由于带电质点在匀强电场E0和匀强磁场B0共存的区域做匀速圆周运动，
所以受到的电场力必定与重力平衡，
即 qE0=mg
根据牛顿第二定律和向心力公式
qv0B0=m
解得 B0=
磁感应强度B0为竖直向上或竖直向下．
（2）磁场B和电场E方向相同时，如答图1甲所示；磁场B和电场E方向相反时，如答图1乙所示．
由于带电质点做匀速直线运动，由平衡条件和几何关系可知
(qv0B)2+(qE)2=(mg)2
解得 E=
图中的θ角为 θ=arcsin
即电场E的方向为沿与重力方向夹角θ=arcsin
或θ=arctan
（3）当撤去磁场后，带电质点只受电场力和重力作用，这两个力的合力大小为qv0B，方向既垂直初速度v0的方向也垂直电场E的方向．
设空中M、N两点间的竖直高度为H，因电场力在这个过程中不做功，则由机械能守恒定律得
解得 H=
因带电质点做类平抛运动，由速度的分解可求得带电质点到达N点时沿合力方向的分速度大小为
vN=
又因电场力在这个过程中不做功，带电质点到达N点时，重力做功的功率等于合外力在此时的瞬时功率，
解得 PN=qv0BvN=qv0B
答：（1）若要使带电质点进入真空室后做半径为R的匀速圆周运动，则磁感应强度B0的大小
（2）当磁感应强度的大小变为B时，为保证带电质点进入真空室后做匀速直线运动，则此时电场强度E的大小 E=
（3）若带电质点在满足第（2）问条件下运动到空中某一位置M点时立即撤去磁场，此后运动到空中另一位置N点时的速度大小为v，则M、N两点间的竖直高度H及经过N点时重力做功的功率为=qv0B
如图（甲）为电视机中显像管的原理示意图，电子枪中的灯丝加热阴极而逸出电子，这些电子再经加速电场加速后，从O点进入由磁偏转线圈产生的偏转磁场中，经过偏转磁场后打到荧光屏MN上，使荧光屏发出荧光形成图象，不计逸出电子的初速度和重力．已知电子的质量为m、电荷量为e，加速电场的电压为U0，假设偏转线圈产生的磁场分布在边长为L的正方形区域abcd内，磁场方向垂直纸面，且磁感应强度随时间的变化规律如图（乙）所示．在每个周期内磁感应强度都是从-B0均匀变化到B0．磁场区域的
左边界的中点与O点重合，ab边与OO′平行，右边界bc与荧光屏之间的距离为s．由于磁场区域较小，电子速度很大，通过磁场时间t远小于磁场变化周期T，不计电子之间的相互作用．
（1）若电视机工作中由于故障而导致偏转线圈中电流突然消失（其它部分工作正常），在荧光屏中心形成亮斑．设所有电子垂直打在荧光屏上之后，全部被荧光屏吸收，且电子流形成的电流为I，求荧光屏所受平均作用力F大小；（用I、U、e、m表示）
（2）为使所有的电子都能从磁场的bc边射出，求偏转线圈产生磁场的磁感应强度的最大值B0；
（3）荧光屏上亮线的最大长度是多少．（假设电子不会打在荧光屏之外）
正确答案
（1）由动能定理得：eU=
设时间t内有N个电子打在荧光屏上，则有I=
根据动量定理知：Ft=Nmv-0
由上三式得：F=I
（2）当磁感应强度为B0或-B0时（垂直于纸面向外为正方向），电子刚好从b点或c点射出，设此时圆周的半径为R，如图所示．
根据几何关系有：R2=l2+(R-
解得：R=
电子在磁场中运动，洛仑兹力提供向心力，
因此有：evB0=m
解得：B0=
（3）设电子偏离原来方向的角度为α，
根据几何关系可知：tanα=
设电子打在荧光屏上离O′点的最大距离为d，则d=
由于偏转磁场的方向随时间变化，根据对称性可知，荧光屏上的亮线最大长度为：D=2d=l+
答：（1）荧光屏所受平均作用力：F=I
（2）为使所有的电子都能从磁场的bc边射出，求偏转线圈产生磁场的磁感应强度的最大值：B0=
（3）荧光屏上亮线的最大长度是L+
如图甲所示，在两平行金属板的中线OO′某处放置一个粒子源，粒子沿OO1方向连续不断地放出速度v0=1.0×105m/s的带正电的粒子．已知带电粒子的比荷
求：（1）t=0.1s时刻粒子源放出的粒子离开电场时的速度大小和方向．
（2）从粒子源放出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间．
正确答案
（1）设板间距为d，t=0.1s时刻释放的粒子在板间做类平抛运动
在沿电场方向上 
粒子离开电场时，沿电场方向的分速度vy=
粒子离开电场时的速度 v=
粒子在电场中的偏角为θ，tanθ=
由①②③④得 v=
tanθ=
得 θ=45°
（2）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期
qvB=m
T=
则得周期 T=
不同时刻释放的粒子在电场中的偏角θ不同，进入磁场后在磁场中运动的时间不同，θ角越大的进入磁场中的偏角越大，运动时间越长．
t=0时刻释放的粒子，在电场中的偏角为0°，在磁场中运动的时间最短 t1=
t=0.1s时刻释放的粒子，在电场中的偏角最大为45°，在磁场中的运动时间 t2=
而其它时刻释放的粒子，在电场中的偏角介于0°和45°之间．因此，粒子在磁场中运动的时间介于1.0×10-6s和1.5×10-6s之间．
答：
（1）t=0.1s时刻粒子源放出的粒子离开电场时的速度大小为1.4×105m/s，方向与水平方向夹角为45°斜向下．
（2）从粒子源放出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间分别为1.0×10-6s和1.5×10-6s．
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