- 带电粒子在电场中运动的综合应用
- 共1139题
如图，EF与GH间为一无场区．无场区左侧A、B为相距为d、板长为L的水平放置的平行金属板，两板上加某一电压从而在板间形成一匀强电场，其中A为正极板．无场区右侧为一点电荷形成的电场，点电荷的位置O也为圆弧形细圆管CD的圆心，圆弧半径为R，圆心角为120°，O、C在两板间的中心线上，D位于GH上．一个质量为m、电量为q的带正电粒子以初速度v0沿两板间的中心线射入匀强电场，粒子出匀强电场经无场区后恰能进入细圆管，并作与管壁无相互挤压的匀速圆周运动．（不计粒子的重力、管的粗细）求：
（1）粒子出匀强电场时，速度与水平方向的夹角；
（2）O处点电荷的电性和带电量；
（3）带电粒子穿越匀强电场过程中垂直极板方向的位移大小．
（4）两金属板所加的电压．
正确答案
解
：（1）粒子运动轨迹如图，设出匀强电场时速度反向延长线交中心线于K点，由几何关系得：
∠DKO=∠DOC-∠KDO
因圆弧圆心角∠DOC=120°，∠KDO=90°
所以∠DKO=30°，即为粒子出匀强电场的偏转角为30°．
（2）设O处点电荷的带电量为Q，粒子进入细管的速度为v合，由偏转角为30°可得：
粒子进入圆管后受到点电荷Q的库仑力作匀速圆周运动，粒子带正电，则知O处点电荷带负电．
且有：k
（3）垂直板方向的位移：y=
（4）设板间所加电压为U，出匀强电场时的竖直方向速度为vy，由偏转角为30°可得：
在匀强电场中粒子作类平抛运动，
vy=at
t=
a=
得：U=
答：
（1）粒子出匀强电场时，速度与水平方向的夹角是30°；
（2）O处点电荷带负电，带电量是
（3）带电粒子穿越匀强电场过程中垂直极板方向的位移大小是
（4）两金属板所加的电压是
如图所示，方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，是一个半径为r的圆，圆心O1在x轴上，OO1距离等于圆的半径．虚线MN平行于x轴且与圆相切于P点，在MN的上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的大小为E，方向沿x轴的负方向，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外．有-群相同的正粒子，以相同的速率，在纸面内沿不同方向从原点O射入第I象限，粒子的速度方向在与x轴成θ=30°角的范围内，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动．粒子的质量为m．电荷量为q（不计粒子的重力）．求：
（1）粒子的初速率；
（2）圆形有界磁场的磁感应强度：
（3）若只撤去虚线MN上面的磁场B，这些粒子经过y轴的坐标范围．
正确答案
（1）带电粒子受到电场力与洛伦兹力相平衡，
则有：qE=qv0B
解得：v0=
（2）设正粒子在圆形有界磁场中做匀速圆周运动的半径为R，
则有：R=r
洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，
则有：B′qv0=
解得：B′=
（3）沿x轴正方向进入圆形有界磁场的粒子经电场E偏转后，过y轴上点的坐标最大，
则有：r=
且△y1=v0t1
所以 y1=△y1+r
解得：y1=r+
沿与x轴正方向与θ=30°角进入圆形有界磁场的粒子经电场E偏转后，过y轴上点的坐标最小，
则有：
又△y2=v0t2
且 y2=△y2+r
解得：y2=r+
即，r+
答：（1）粒子的初速率
（2）圆形有界磁场的磁感应强度
（3）若只撤去虚线MN上面的磁场B，这些粒子经过y轴的坐标范围r+
如图在宽度分别为l1和l2的两个毗邻的条形区域中分别有匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面向里，电场方向与电、磁场分界线平行向右．一带正电荷的粒子以速率v从磁场区域上边界的P点斜射入磁场，然后以垂直于电、磁场分界线的方向进入电场，最后从电场边界上的Q点射出．已知PQ垂直于电场方向，粒子轨迹与电、磁场分界线的交点到PQ的距离为d．不计重力，求电场强度与磁感应强度大小之比及粒子在磁场与电场中运动时间之比．
正确答案
粒子在磁场中做匀速圆周运动（如图）．由于粒子在分界线处的速度与分界线垂直，圆心O应在分界线上，OP长度即为粒子运动的圆弧的半径R．由几何关系得
R2=l12+（R-d）2 ①
设粒子的质量和所带正电荷分别为m和q，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
qvB=m
设P'为虚线与分界线的交点，∠POP'=α，则粒子在磁场中的运动时间为
t1=
式中sinα=
粒子进入电场后做类平抛运动，其初速度为v，方向垂直于电场．设粒子加速度大小为a，由牛顿第二定律得
qE=ma ⑤
由运动学公式有
d=
l2=vt2 ⑦
式中t2是粒子在电场中运动的时间
由①②⑤⑥⑦式得
由①③④⑦式得
答：电场强度与磁感应强度大小之比为
如图所示，直线形挡板p1p2p3与半径为r的圆弧形挡板p3p4p5平滑连接并安装在水平台面b1b2b3b4上，挡板与台面均固定不动。线圈c1c2c3的匝数为n，其端点c1、c3通过导线分别与电阻R1和平行板电容器相连，电容器两极板间的距离为d，电阻R1的阻值是线圈c1c2c3阻值的2倍，其余电阻不计，线圈c1c2c3内有一面积为S、方向垂直于线圈平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度B随时间均匀增大。质量为m的小滑块带正电，电荷量始终保持为q，在水平台面上以初速度v0从p1位置出发，沿挡板运动并通过p5位置。若电容器两板间的电场为匀强电场，p1、p2在电场外，间距为L，其间小滑块与台面的动摩擦因数为μ，其余部分的摩擦不计，重力加速度为g。求：
（1）小滑块通过p2位置时的速度大小。
（2）电容器两极板间电场强度的取值范围。
（3）经过时间t，磁感应强度变化量的取值范围。
正确答案
解：（1）小滑块运动到位置p2时速度为v1，由动能定理有：
－umgL＝
v1＝
（2）由题意可知，电场方向如图，若小滑块能通过位置p，则小滑块可沿挡板运动且通过位置p5，设小滑块在位置p的速度为v，受到的挡板的弹力为N，匀强电场的电场强度为E，由动能定理有：
－umgL－2rEqs＝
当滑块在位置p时，由牛顿第二定律有：N+Eq＝m
由题意有：N≥0 ⑤
由以上三式可得：E≤
E的取值范围：0＜E≤
（3）设线圈产生的电动势为E1，其电阻为R，平行板电容器两端的电压为U，t时间内磁感应强度的变化量为△B，得： U＝Ed ⑧
由法拉第电磁感应定律得E1＝n
由全电路的欧姆定律得E1＝I（R+2R）⑩
U＝2RI
经过时间t，磁感应强度变化量的取值范围：0＜
如图所示，AB、CD是处在方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B1的匀强磁场的两条金属导轨（足够长），导轨宽度为d，导轨通过导线分别与平行金属板MN相连，有一与导轨垂直且始终接触良好的金属棒ab以某一速度沿着导轨做匀速直线运动。在y轴的右方有一磁感应强度为B2且方向垂直于纸面向外的匀强磁场，在x轴的下方有一场强为E且方向平行于x轴向右的匀强电场。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子在M板由静止经过平行金属板MN，然后以垂直于y轴的方向从F处穿过y轴，再从x轴上的G处以与x轴正向夹角为60°的方向进入电场和磁场叠加的区域，最后到达y轴上的H点。已知OG长为l，不计粒子的重力。求：
（1）金属棒ab做匀速直线运动速度的大小v0？
（2）粒子到达H点时的速度多大？
正确答案
解：（1）金属棒曲在切割磁感线过程中产生的感应电动势为：ε=B1dv0设粒子在F处进入磁场时的速度为v，由牛顿第二定律得：
由几何知识可得（如图所示）：
粒子在通过MN过程中由动能定理得qB1dv0=
解得
（2）从G到H只有电场力对粒子做功，电场力做功与路径无关，根据动能定理，有
解得vH=
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