- 直线的一般式方程
- 共52题
经过点且与直线
相切的动圆的圆心轨迹为
,点
、
在轨迹
上,且关于
轴对称,过线段
(两端点除外)上的任意一点作直线
,使直线
与轨迹
在点
处的切线平行,设直线
与轨迹
交于点
、
。
(1)求轨迹的方程;
(2)证明:;
(3)若点到直线
的距离等于
,且△
的面积为20,求直线
的方程。
正确答案
见解析。
解析
(1)方法1:设动圆圆心为,依题意得,
,
整理,得,所以轨迹
的方程为
。
方法2:设动圆圆心为,依题意得点
到定点
的距离和点
到定直线
的距离相等,
根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线。
且其中定点为焦点,定直线
为准线。
所以动圆圆心的轨迹
的方程为
(2)由(1)得,即
,则
。
设点,由导数的几何意义知,直线
的斜率为
。
由题意知点,设点
,
,
则,
即。
因为,
,
由于,即
。
所以,
(3)方法1:由点到
的距离等于
,可知
。
不妨设点在
上方(如图),即
,直线
的方程为:
。
由
解得点的坐标为
,
所以。
由(2)知,同理可得
。
所以△的面积
,
解得,
当时,点
的坐标为
,
,
直线的方程为
,即
,
当时,点
的坐标为
,
,
直线的方程为
,即
,
方法2:由点到
的距离等于
,可知
。
由(2)知,所以
,即
。
由(2)知,
。
所以。
即, ①
由(2)知, ②
不妨设点在
上方(如图),即
,由①、②解得
因为,
同理,
以下同方法1。
知识点
如图,已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为
,点A是椭圆上任一点,△AF1F2的周长为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记
,若在线段MN上取一点R,使得
,则当直线l转动时,点R在某一定直线上运动,求该定直线的方程.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵△AF1F2的周长为,
∴即
. ……………………(1分)
又解得
………………(3分)
∴椭圆C的方程为………………………………(4分)
(2)由题意知,直线l的斜率必存在,
设其方程为
由
得…………………………………(6分)
则……………………………………(7分)
由,得
∴∴
.……………………………………(8分)
设点R的坐标为(),由
,
得
∴
解得………………(10分)
而
∴…………………………………………………(13分)
故点R在定直线上. ………………………………………………(14分)
知识点
若直线与圆
相交于
,
两点,且线段
的中点坐标是
,则直线
的方程为().
正确答案
解析
略
知识点
曲线在点(0,1)处的切线方程为 .
正确答案
解析
略
知识点
与直线x+2y+3=0垂直,且与抛物线y = x2 相切的直线方程是 。
正确答案
解析
略
知识点
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