- 直线的一般式方程
- 共52题
经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为,点、在轨迹上,且关于轴对称,过线段(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹在点处的切线平行,设直线与轨迹交于点、。
(1)求轨迹的方程;
(2)证明:;
(3)若点到直线的距离等于,且△的面积为20,求直线的方程。
正确答案
见解析。
解析
(1)方法1:设动圆圆心为,依题意得,,
整理,得,所以轨迹的方程为。
方法2:设动圆圆心为,依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等,
根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是抛物线。
且其中定点为焦点,定直线为准线。
所以动圆圆心的轨迹的方程为
(2)由(1)得,即,则。
设点,由导数的几何意义知,直线的斜率为。
由题意知点,设点,,
则,
即。
因为,,
由于,即。
所以,
(3)方法1:由点到的距离等于,可知。
不妨设点在上方(如图),即,直线的方程为:。
由
解得点的坐标为,
所以。
由(2)知,同理可得。
所以△的面积,
解得,
当时,点的坐标为,,
直线的方程为,即,
当时,点的坐标为,,
直线的方程为,即,
方法2:由点到的距离等于,可知。
由(2)知,所以,即。
由(2)知,。
所以。
即, ①
由(2)知, ②
不妨设点在上方(如图),即,由①、②解得
因为,
同理,
以下同方法1。
知识点
如图,已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,点A是椭圆上任一点,△AF1F2的周长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记,若在线段MN上取一点R,使得,则当直线l转动时,点R在某一定直线上运动,求该定直线的方程.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵△AF1F2的周长为,
∴即. ……………………(1分)
又解得………………(3分)
∴椭圆C的方程为………………………………(4分)
(2)由题意知,直线l的斜率必存在,
设其方程为
由
得…………………………………(6分)
则……………………………………(7分)
由,得
∴∴.……………………………………(8分)
设点R的坐标为(),由,
得
∴
解得………………(10分)
而
∴…………………………………………………(13分)
故点R在定直线上. ………………………………………………(14分)
知识点
若直线与圆相交于,两点,且线段的中点坐标是,则直线的方程为().
正确答案
解析
略
知识点
曲线在点(0,1)处的切线方程为 .
正确答案
解析
略
知识点
与直线x+2y+3=0垂直,且与抛物线y = x2 相切的直线方程是 。
正确答案
解析
略
知识点
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