椭圆的参数方程
共106题

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椭圆的参数方程
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题型：简答题

简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点，又点P的坐标为（1，2）．

求：（1）线段AB的中点坐标；

（2）线段AB的长；

（3）|PA-PB|的值．

正确答案

解：由题意可知，直线l的斜率为-，倾斜角为

∴直线l的参数方程可改写为（l为参数，|l|的几何意义为（1，2）点到（x，y）的距离），

曲线C的普通方程为，

将直线方程代入曲线C的方程可得，，

设点A对应的参数为l1，点B对应的参数为l2，

∵△＞0，∴，，

由参数l的几何意义得

（1）中点对应的参数为，代入直线参数方程得

∴线段AB中点坐标为；

（2）弦AB的长为AB=|l1-l2|===；

（3）∵点P（1，2）在直线上，且点P在椭圆内，故A、B两点分布在点P两侧，即l1与l2异号

∴．

解析

解：由题意可知，直线l的斜率为-，倾斜角为

∴直线l的参数方程可改写为（l为参数，|l|的几何意义为（1，2）点到（x，y）的距离），

曲线C的普通方程为，

将直线方程代入曲线C的方程可得，，

设点A对应的参数为l1，点B对应的参数为l2，

∵△＞0，∴，，

由参数l的几何意义得

（1）中点对应的参数为，代入直线参数方程得

∴线段AB中点坐标为；

（2）弦AB的长为AB=|l1-l2|===；

（3）∵点P（1，2）在直线上，且点P在椭圆内，故A、B两点分布在点P两侧，即l1与l2异号

∴．

题型：简答题

简答题

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：（α为参数）与极坐标下的点．

（1）求点M与曲线C的位置关系；

（2）在极坐标系下，将M绕极点逆时针旋转θ（θ∈[0，π]），得到点M‘，若点M'在曲线C上，求θ的值．

正确答案

解：（1）曲线C的普通方程为，

而点M（2，）的直角坐标点为M（，）

∵＜1，

∴点M在曲线C的内部．

（2）由题知M′（2，），即M′（2cos（），2sin（）），

依题可知：当旋转到点（±2，0）时，

点M′在曲线C上，

即2cos（+θ）=±2，2sin（+θ）=0，

+θ=kπ，k∈z

θ=kπ，k∈z，

∵θ∈[0，π]，

∴

解析

解：（1）曲线C的普通方程为，

而点M（2，）的直角坐标点为M（，）

∵＜1，

∴点M在曲线C的内部．

（2）由题知M′（2，），即M′（2cos（），2sin（）），

依题可知：当旋转到点（±2，0）时，

点M′在曲线C上，

即2cos（+θ）=±2，2sin（+θ）=0，

+θ=kπ，k∈z

θ=kπ，k∈z，

∵θ∈[0，π]，

∴

题型：简答题

简答题

已知直线l：x+y=1与椭圆（θ为参数），若直线l与椭圆交于A，B两点，求线段AB的长度．

正确答案

解：化为普通方程可得，

与直线方程x+y=1联立消去y，可得5x2-8x=0，

解得：x=0，或x=，带回直线的方程分别可得y=1，y=-，

即两个交点坐标分别为：（0，1），（，）

所以由两点间距离公式，可得得AB==

解析

解：化为普通方程可得，

与直线方程x+y=1联立消去y，可得5x2-8x=0，

解得：x=0，或x=，带回直线的方程分别可得y=1，y=-，

即两个交点坐标分别为：（0，1），（，）

所以由两点间距离公式，可得得AB==

题型：填空题

填空题

实数x、y满足3x2+2y2=6x，则的最大值为______．

正确答案

解析

解：3x2+2y2=6x，配方得，3（x-1）2+2y2=3，

令x=1+cosα，y=sinα，α∈[0，2π），

则=

=•=，

由于-1≤cosα≤1，

则当cosα=1时，取得最大值=2．

故答案为：2．

题型：单选题

单选题

椭圆（θ为参数）的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：由得，椭圆的标准方程为，

所以a=5、b=4，则c=3，

所以椭圆的离心率e=，

故选：C．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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