椭圆的参数方程
共106题

· 椭圆的参数方程

椭圆的参数方程
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题型：简答题

简答题

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）选修4-2：矩阵与变换

设矩阵 M=（其中a＞0，b＞0）．

（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；

（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：+y2=1，求a，b的值．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为(∂为参数)．

（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；

（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

设不等式|2x-1|＜1的解集为M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

正确答案

（1）（I）∵M=

∴M-1=

将a=2，b=3代入即得：M-1==

（II）设出曲线C：x2+y2=1任意一点为（x0，y0）经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为（x，y），

∵M（x0，y0）=（x，y）

∴

将之代入+y2=1得：+b2=1

即

∵a＞0，b＞0

∴

（2）（I）解∵P的极坐标为（4，），

∴P的直角坐标为（0，4）

∵直线l的方程为x-y+4=0

∴（0，4）在直线l上

（II）∵曲线C的参数方程为(∂为参数)，直线l的方程为x-y+4=0

设曲线C的到直线l的距离为d

则d==

∵2sin（-α）∈[-2，2]

∴d的最小值为

（3）（I）∵|2x-1|＜1

∴-1＜2x-1＜1

即0＜x＜1

即M为{x|0＜x＜1}

（II∵a，b∈M

∴a-1＜0．b-1＜0

∴（b-1）（a-1）＞0

∴（ab+1）-（a+b）=a（b-1）+（1-b）=（b-1）（a-1）＞0

即（ab+1）＞（a+b）

题型：填空题

填空题

已知+=1(a＞b＞0，xy≠0)，则+的最小值为______．

正确答案

由题意可设x=acosθ，y=bsinθ，θ∈（0，2π）且θ≠，π，．

∴+=+=≥4，当且仅当sin2θ=±1时取等号．

故+的最小值为4．

故答案为4．

题型：填空题

填空题

若C(-，0)、D(，0)，M是椭圆+y2=1上的动点，则+的最小值为______．

正确答案

由题设条件知焦点在x轴上，

故椭圆方程椭圆+y2=1

由c===，

易知C，D两点是椭圆+y2=1的焦点，

所以，|MC|+|MD|=2a=4，

从而|MC|•|MD|≤（）2=22=4，

当且仅当|MC|=|MD|取等号，

即点M的坐标为（0，±1）时上式取等号，

∴+=≥=1，

则+的最小值为 1．

故答案为：1．

题型：填空题

填空题

以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=2，曲线C的参数方程为（φ为参数），则曲线C上的点到直线l的最短距离为______．

正确答案

∵直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=2，

∵x=pcosθ，y=psinθ，

∴x+y=2，

∵曲线C的参数方程为（φ为参数），

∴+y2=1，

可以设直线y=-x+k与椭圆+y2=1相切，

∴5x2-8kx+4k2-4=0，

△=0，∴64k2-20（4k2-4）=0，

∴k=±

∴直线y=-x±与直线x+y=2，的距离即是最短距离，

∴d=±，

∴曲线C上的点到直线l的最短距离为．

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知椭圆（θ为参数）

（1）求该椭圆的焦点坐标和离心率；

（2）已知点P是椭圆上任意一点，求点P与点M（0，2）的距离|PM|的最大值．

正确答案

（1）由得

∴+y2=1---------------------------------------------------------------------------（2分）

∴a2=4，b2=1

∴c2=a2-b2=3

∴焦点坐标为( ， 0 )，( - ， 0 )-------------------------------------（4分）

离心率e==------------------------------------------------------------------（6分）

（2）设点P的坐标为P（x，y），则+y2=1，即：x2=4-4y2------------------------------------------------（8分）

∴|PM|===------------------------------------------------（12分）

∵y∈[-1，1]

∴当y=-时，|PM|≥=

∴|PM|的最大值是----------------------------------------------------（14分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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