椭圆的参数方程
共106题

· 椭圆的参数方程

椭圆的参数方程
共106题

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题型：简答题

简答题

已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．

（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程；

（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为DF===10，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x-2y-7=0距离的最小值．

正确答案

（Ⅰ）由已知可得cos2t+sin2t=（x+4）2+（y-3）2=1，

cos2θ+sin2θ=()2+()2=1，

故所求的普通方程为：C1：(x+4)2+(y-3)2=1，C2：+=1．

（Ⅱ）当t=时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），

故M(-2+4cosθ，2+sinθ)，C3为直线x-2y-7=0，

故M到C3的距离d=|4cosθ-3sinθ-13|=[13-5sin（θ-γ）]，其中tanγ=

从而当cosθ=，sinθ=-时，sin（θ-γ）取最大值1，

此时，d取得最小值．

题型：简答题

简答题

（坐标系与参数方程选做题）

已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．

（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；

（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和．

正确答案

（Ⅰ）直线l普通方程为 y=x-2； …（2分）

曲线C的普通方程为+=1． …（4分）

（Ⅱ）∵F1（-1，0），F2（1，0），

∴点F1到直线l的距离d1==，…（6分）

点F2到直线l的距离d2==，…（8分）

∴d1+d2=2．…（10分）

题型：简答题

简答题

（1）已知圆的方程是x2+y2=4，求斜率等于1的圆的切线的方程；

（2）若实数x，y，t，满足+=1且t=x+y，求t的取值范围．

正确答案

（1）设直线方程为：y=x+b，∵直线与圆相切，设圆心到直线的距离为d，

∴d==2，∴b=±2．∴切线方程为：x-y±2=0．

（2）直线 l； y=-x+t 与椭圆 C：+=1 有交点，

则方程组有解，∴将 y=-x+t 代入椭圆方程 +=1得：

25x2-18tx+9t2-144=0，

∴该二次方程的判别式：△=（-18t）2-4×25（9t2-144）≥0，解得 t∈[-5，5]．

题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1（a＞b＞0）

（1）当椭圆的离心率e=，一条准线方程为x=4 时，求椭圆方程；

（2）设P（x，y）是椭圆上一点，在（1）的条件下，求z=x+2y的最大值及相应的P点坐标．

（3）过B（0，-b）作椭圆+=1（a＞b＞0）的弦，若弦长的最大值不是2b，求椭圆离心率的取值范围．

正确答案

（1）∵，∴c=1，a=2，b=，椭圆方程为+=1

（2）因为P（x，y）在椭圆+=1上，所以可设x=2cosθ，y=sinθ，

则z=2cosθ+2sinθ=4sin(θ+)≤4，∴zmax=4，此时θ=2kπ+(k∈Z)，

相应的P点坐标为(1，)．

（3）设弦为BP，其中P（x，y），∵BP2=x2+(y+b)2=a2-y2+y2+2by+b2

=-y2+2by+a2+b2=-(y-)++a2+b2=f(y)，(-b≤y≤b)，

因为BP的最大值不是2b，又f（b）=4b2，

所以f（y）不是在y=b时取最大值，而是在对称轴y=处取最大值，

所以＜b，所以b2＜c2，解得离心率e∈(，1)．

题型：填空题

填空题

已知椭圆C：（θ∈R）经过点（m，），则m=______，离心率e______．

正确答案

由椭圆C：，得cosθ=x，sinθ=

∵cos2θ+sin2θ=1，∴x2+（）2=1，

所以椭圆C的方程为+x2=1

∵点（m，）在椭圆上，∴+m2=1，解之得m=±

∵a2=4，b2=1，∴c==

所以椭圆的离心率e=

故答案为：±

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