椭圆的参数方程
共106题

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椭圆的参数方程
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题型：简答题

简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程为ρ=asinθ（a＞0）．

（1）当直线l与曲线C2相切时求a的值；

（2）求直线l被曲线C1所截得的弦长．

正确答案

（1）直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为y=(x+)，即x-y+3=0

曲线C2的极坐标方程为ρ=asinθ（a＞0），化为直角坐标方程为x2+y2-ay=0，即x2+(y-)2=

∵直线l与曲线C2相切，

∴=，∴a=2；

（2）曲线C1的参数方程为（α为参数），化为普通方程为+y2=1

直线l的参数方程，可化为（t为参数），代入椭圆方程可得13t2-4t-4=0

设方程的根为t1，t2，∴t1+t2=，t1t2=-

∴直线l被曲线C1所截得的弦长为|t1-t2|==．

题型：简答题

简答题

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（，），直线l过点P，且倾斜角为，方程+=1所对应的曲线经过伸缩变换后的图形为曲线C．

（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程．

（Ⅱ）直线l与曲线C相交于两点A，B，求|PA|•|PB|的值．

正确答案

（Ⅰ）P的直角坐标为（1，1）

∵直线l过点P，且倾斜角为，∴直线l的参数方程为（t为参数）

∵伸缩变换，∴

代入+=1，可得+=1，即x′2+y′2=4

∴曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=4；

（Ⅱ）直线l的参数方程为，代入曲线C可得t2+（-1）t-2=0

设方程的根为t1，t2，则t1+t2=-1；t1t2=-2

∴|PA|•|PB|=|t1||t2|=2

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简答题

（选做题）

在平面直角坐标系x0y中，求过椭圆(φ参数）的左焦点与直线(t为参数）垂直的直线的参数方程．

正确答案

把椭圆的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程为+=1，左焦点为（-4，0），…（4分）

用代入法把直线的参数方程（t为参数），消去参数，化为的普通方程为2x-y-6=0，斜率为2，…（8分）

所求直线的斜率为-，故所求的直线方程为y=-(x+4)，即x+2y+4=0． …（10分）

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简答题

（A）4-2矩阵与变换

已知二阶矩阵M的特征值是λ1=1，λ2=2，属于λ1的一个特征向量是e1=，属于λ2的一个特征向量是e2=，点A对应的列向量是a=．

（Ⅰ）设a=me1+ne2，求实数m，n的值．

（Ⅱ）求点A在M5作用下的点的坐标．

（B）4-2极坐标与参数方程

已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ-)=3，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．

正确答案

（A）4-2矩阵与变换

（Ⅰ）由a=me1+ne2得：=m+n，即⇒．

（Ⅱ）二阶矩阵M对应的变换是线性变换

所以M5a=M5（2e1+e2）=2M5e1+M5e2=2λ15e1+λ25e2=2e1+25e2

=2+25==

所以点A在M5作用下的点的坐标（-30，66）．

（B）4-2极坐标与参数方程

由ρsin(θ-)=3，得：ρ(sinθ-cosθ)=3，∴y-x=6，即：x-y+6=0

又曲线C的参数方程是，设点P坐标为（cosθ，3sinθ），

则点P到直线l的距离是d===≤=+3

所以，P到直线l的距离的最大值为+3．

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程．

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=；θ=；与曲线C2交于点D（，）

（1）求曲线C1，C2的方程；

（2）A（ρ，θ），Β（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．

正确答案

（1）将M（2，）及对应的参数φ=；θ=；

代入得：

得：

∴曲线C1的方程为：（∅为参数）或+=1．

设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x-R）2+y2=R2），将点D（，）

代入得：=2R•

∴R=1

∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ（或（x-1）2+y2=1）…（5分）

（2）曲线C1的极坐标方程为：+=1

将A（ρ，θ），Β（ρ，θ+）代入得：+=1，+=1

∴+=（+）+（+）=…（10分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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