- 等差数列的通项公式
- 共2467题
已知函数y=f（x）的图象经过坐标原点，且f′（x）=2x-1，数列{an}的前n项和Sn=f（n）（n∈N*）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{bn}满足an+log3n=log3bn，求数列{bn}的前n项和．
（Ⅲ）设Pn=a1+a4+a7+…+a3n-2，Qn=a10+a12+a14+…+a2n+8，其中n∈N*，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论．
正确答案
解：（I）由f′（x）=2x-1得f（x）=x2-x+b（b∈R）
因为y=f（x）的图象过原点，所以f（x）=x2-x
所以Sn=n2-n（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2
又因为a1=S1=0适合an=2n-2
所以数列{an}的通项公式为an=2n-2（n∈N*）（4分）
（II）由an+log3n=log3bn得：
所以Tn=b1+b2+b3+bn=30+2•32+3•34++n•32n-2（1）
所以9Tn=32+2•34+3•36++n•32n（2）（6分）
（2）-（1）得：8Tn=n•32n-（1+32+34+36++32n-2）=
所以
（Ⅲ）a1，a4，a7，a3n-2组成以0为首项6为公差的等差数列，所以M
a10，a12，a14，，a2n+8组成以18为首项4为公差的等差数列，所以
故Pn-Qn=3n2-3n-2n2-16n=n2-19n=n（n-19）（11分）
所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；
当n=19时，Pn=Qn；
当n≤18时，Pn＜Qn．（14分）
解析
解：（I）由f′（x）=2x-1得f（x）=x2-x+b（b∈R）
因为y=f（x）的图象过原点，所以f（x）=x2-x
所以Sn=n2-n（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2
又因为a1=S1=0适合an=2n-2
所以数列{an}的通项公式为an=2n-2（n∈N*）（4分）
（II）由an+log3n=log3bn得：
所以Tn=b1+b2+b3+bn=30+2•32+3•34++n•32n-2（1）
所以9Tn=32+2•34+3•36++n•32n（2）（6分）
（2）-（1）得：8Tn=n•32n-（1+32+34+36++32n-2）=
所以
（Ⅲ）a1，a4，a7，a3n-2组成以0为首项6为公差的等差数列，所以M
a10，a12，a14，，a2n+8组成以18为首项4为公差的等差数列，所以
故Pn-Qn=3n2-3n-2n2-16n=n2-19n=n（n-19）（11分）
所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；
当n=19时，Pn=Qn；
当n≤18时，Pn＜Qn．（14分）
正确答案
解析
解：由等差中项的概念知，
故答案为：
有四个正整数从小到大排成一列，前三个数成等差数列，公差为2，后三个数又成等比数列，则这四个数之和为______．
正确答案
21
解析
解：因为前三个数成等差数列，公差为2，所以可设前三个数分别是（a-2），a，（a+2），且a＞2，设第四个数为b
又因为后三个数成等比数列，所以（a+2）2=ab
即a2+4a+4=ab
即b=a+4+
又因为a，b是整数，所以4能被a整除，所以a=4，（因为a＞2所以a=2，1都要舍去）
把a=4代入b=a+4+
所以这四个数分别是2，4，6，9
和是2+4+6+9=21．
故答案为21．
在数列{an}（n∈N*）中，设a1=a2=1，a3=2．若数列{
正确答案
120
解析
解：∵数列{
∴公差d=
则
则
累积得：
∴a6=120．
故答案为：120．
数列{an}中，a1=5，an+1=an+3，则a10=______．
正确答案
32
解析
解：由an+1=an+3，得an+1-an=3，
∴数列{an}为等差数列，且公差d=3，
又a1=5，
∴an=a1+（n-1）d=5+3（n-1）=3n+2．
∴a10=3×10+2=32．
故答案为：32．
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