利用导数求函数的极值
共167题

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利用导数求函数的极值
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题型：简答题

简答题 · 14 分

21．

设函数f(x)=ax2－a－lnx，，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

正确答案

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

题型：单选题

单选题 · 5 分

6．已知a函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=（　　　）

A-4

B-2

正确答案

知识点

利用导数求函数的极值

题型：简答题

简答题 · 14 分

21. 已知函数（a为实常数）.

（1）若上为单调增函数；

（2）若，求函数在上的最小值及相应的x值；

（3）设b=0，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

正确答案

（1）在上为单调增函数；

（2）；

（3）.

解析

试题分析：本题属利用导数求单调区间、最值及不等式恒成立问题，解析如下：

解：（1）时，，定义域为，

时，恒成立，

所以在上为单调增函数(Ⅱ)因为，

所以，，

(i) 若，在上非负（仅当时，），

故函数在上是增函数，

此时

(ii)若，,

当时，, 当时，，此时是减函数；

当时，，此时是增函数．

故

（3），不等式，即可化为．

因为, 所以且等号不能同时取，

所以，即，

因而（）令（），

又，

当时，，，

从而（仅当时取等号），

所以在上为增函数，故的最小值为，

所以实数的取值范围是

考查方向

本题考查了利用导数求单调区间、最值及不等式恒成立问题。

易错点

第二问忘记分类讨论导致出错。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．己知函数f(x)=a（x-）-2lnx，其中a∈R．

(1)若f(x)有极值，求a的取值范围；

(2)若f(x)有三个不同的零点x1,x2,x3，求证：

(参考数值：ln2≈0. 6931)

正确答案

（1）0<a<1；（2）当a≤0或a≥1时，有唯一零点；当0<a<1时，有三个零点．

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（1），因为f(x)定义域为（0，+∞），

所以ax2-2x+a=0有正根且不为等根。显然a≠0,由x1x2=1>0.得Δ>0且x1+x2>0,

所以 0<a<1 。

考查方向

本题考查了利用导数求含参数的函数极值，分类讨论，讨论点大体可以分成以下几类：（1）根据判别式讨论；（2）根据二次函数的根的大小；3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；5、多次求导求解等．

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

（1）求导，然后解导数不等式，算极值。

（2）对参数分类讨论求得零点个数。

易错点

第二问中的易丢对a的分类讨论。

知识点

利用导数求函数的极值利用导数证明不等式利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 16 分

20．已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）的定义域为．其导数．

①当时，，函数在上是增函数；

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是

②证法一：

下面证明：当时， .

设，则 .

在上是增函数，所以当时， .

即当时，..

②证法二：

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是.

又由(1)可知 .即

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数单调性，根据函数的零点求参数的取值范围。

解题思路

1利用导数求函数单调性，2根据函数的零点求参数的取值范围

3构造函数求两个零点和的范围

易错点

本题必须注意函数的定义域，以及对参数进行讨论，否则求解错误。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数证明不等式

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