- 离散型随机变量的均值与方差
- 共275题
设X～N(0,1)．
①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；
②P(X＜0)＝0.5；
③已知P(－1＜X＜1)＝0.6826，
则P(X＜－1)＝0.1587；
④已知P(－2＜X＜2)＝0.9544，
则P(X＜2)＝0.9772；
⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.9974，
则P(X＜3)＝0.9987.
其中正确的有________(只填序号)．
正确答案
①②③④⑤
正态曲线关于y轴对称，故①②正确．
对于③，P(X＜－1)＝
＝
故③正确；对于④，P(X＜2)
＝
＝
故④正确，同理⑤正确．
如果对于任意实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=
正确答案
∵P（a＜X≤b）=
∴∫0-1ϕμ，σ（x）dx=P（-1＜X≤0）
∵若X～（0，1），P（X＞1）=p
P（-1＜X≤0）=
故答案为
某校某次数学考试的成绩X服从正态分布，其密度函数为f(x)=
（P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974）
正确答案
∵数学成绩近似地服从正态分布N（75，52），
且P（|x-u|＜2σ）=0.9544，
∴P（|x-75|＜10）=0.9544，
∴数学成绩在75--85分之间的成绩约为 
则密度曲线与直线x=75和直线x=85以及与x轴所围成的图形面积为 0.4772平方单位．
故答案为：0.4772．
设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），记ϕ（x）=P（ξ＜x），给出下列结论：
①ϕ（0）=0.5；②ϕ（1）=1-ϕ（-1）；③ϕ（|ξ|＜3）=2ϕ（3）-1；④ϕ（|ξ|＞3）=1-ϕ（3）其中正确的序号是______．
正确答案
随机变量ξ服从正态分布N（0，1），曲线关于ξ=0对称，
记φ（x）=p（ξ＜x），
①φ（0）=P（ξ＜0）=0.5；故①正确，
②φ（1）=P（ξ＜1），1-φ（-1）=1-p（ξ＜-1）=1-1+p（ξ＜1）=p（ξ＜1），故②正确，
③ϕ（|ξ|＜3）=P（-3＜ξ＜3）=2P（ξ＜3）-1=2ϕ（3）-1═，故③正确
④p（|ξ|＞3）=P（ξ＞3或ξ＜-3）=ϕ（-3）+1-ϕ（3）=2-2ϕ（3），故④不正确
故答案为：①②③
设X～N（1，22），试求
（1）P（-1＜X≤3);
(2)P(3＜X≤5);
(3)P(X≥5).
正确答案
（1）0.682 6（2）0.135 9（3）0.022 8
∵X～N（1，22），∴
（1）P（-1＜X≤3)=P(1-2＜X≤1+2)=P（
（2）∵P（3＜X≤5)=P(-3＜X≤-1)
∴P(3＜X≤5)=
=
(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3),
∴P(X≥5)=
=
设随机变量X服从N（0，1）,记
（1）
正确答案
见解析
由正态分布密度曲线的对称性可计算如下（也可借助图形理解）：
（1）
（2）<法一>
<法二>
在标准正态总体N（0，1）中，已知φ（1.98）=0.9762，则标准正态总体在区间（-1.98，1.98）内取值的概率为______．
正确答案
∵标准正态总体N（0，1）中，
正态曲线关于x=0对称，
∵φ（1.98）=0.9762，
∴P（-1.98＜x＜1.98）=1-2（1-0.9762）=0.9524
故答案为：0.9524．
在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～N（110，202）且知满分为150分，这个班的学生共56人，求这个班在这次数学考试中130分以上的人数大约是______．
正确答案
∵期中考试数学成绩X服从N（110，202）正态分布，
∴P（110-2×20＜X＜110+2×20）=P（70＜X＜150）=0.954
P（110-1×20＜X＜110+1×20）=P（90＜X＜130）=0.683，
∴P（130＜X＜150）=
∴这个班在这次数学考试中130分以上的人数大约是56×0.1355≈8
故答案为：8．
举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100），已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名，若Φ（2）=0.9772，则此次参赛生总人数约为______．
正确答案
设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N（70，100），
由条件知，P（ξ≥90）=1-P（ξ＜90）=1-φ（90）
=1-Φ (
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，
∴参赛总人数约为 
故答案为：526
已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0<X<2)＝________．
正确答案
0.3
P(X<4)＝0.8，则P(X>4)＝0.2，又因为分布图像关于直线x＝2对称，则P(X<0)＝P(X>4)＝0.2，则P(0<X<4)＝0.6，P(0<X<2)＝0.3.
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