双曲线
共4042题

双曲线
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题型：填空题

填空题

过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为　　　　　　.

正确答案

(2,+∞)

【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.

解：设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),右焦点F的坐标为(c,0),令A(c,),B(c,-),

所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=.

又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<,

即a+c<⇒a2+ac2-a2,

⇒e2-e-2>0(e=),解得e>2或e<-1.

又e>1,∴e>2.

题型：填空题

填空题

已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，则＝．

正确答案

试题分析：设，，由双曲线定义可得，在中，=，∴=.

题型：简答题

简答题

求直线（为参数）被双曲线所截得的弦长。（12分）

正确答案

把直线参数方程代为标准参数方程,代入即,得,设其两根为，则

从而弦长为

略

题型：简答题

简答题

如图，双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．又已知该双曲线的离心率．

（1）求证：，，依次成等差数列；

（2）若F(，0)，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度．

正确答案

解：（1）由已知e2＝，即＝，故a2＝c2， ①

从而b2＝c2－a2＝c2， ②

故＝＝，设∠AOF＝∠BOF＝，＝．

故tan∠AOB＝tan2＝＝，即＝．

令＝3m(m＞0) ，则＝4m，＝5m，满足＋＝2，

所以，，，依次成等差数列．

（2）由已知c2＝5，代入①，②得a2＝4， b2＝1，

于是双曲线的方程为．

设直线AB的斜率为k，则k＝tan∠BFx＝tan∠AFO＝cot＝2．

于是直线AB的议程为 y＝2(x－)．…………………………………………9分

联立消y得15x2－x＋84＝0．

故弦CD的长度 | CD |＝＝×＝…13分

略

题型：填空题

填空题

设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D，点为D内的一个动点，则目标函数的最小值为

正确答案

略

题型：填空题

填空题

过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,O为双曲线的中心,·=0,则双曲线的离心率为　　　　.

正确答案

如图,由OM⊥ON,MN⊥x轴知,

MF=OF,即=c,

∴c2-a2=ac,∴e2-e-1=0,∵e>1,∴e=.

题型：填空题

填空题

已知双曲线C∶＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是________．

正确答案

(±2,0)

∵2a＝2，∴a＝1，又＝2，∴c＝2，∴双曲线C的焦点坐标是(±2,0)．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（－5，0），（5，0），且AC，BC所在直

线的斜率之积等于m（m≠0），求顶点C的轨迹．

正确答案

当时，点C的轨迹是椭圆，或者圆，并除去两点

当时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点……

试题分析：该题考察斜率等基础知识，考察学生基本运算能力，设点，用斜率公式表示，，然后先根据已知列方程，其次化简，再根据讨论轨迹类型(把不满足条件的点去掉，或把遗漏的点补上).

试题解析：设点C的坐标为，由已知，得

直线AC的斜率，

直线BC的斜率，

由题意得，所以

即 7分

当时，点C的轨迹是椭圆，或者圆，并除去两点

当时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点 10分

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）已知抛物线：的准线经过双曲线：的左焦点，若抛物线与双曲线的一个交点是．

（1）求抛物线的方程；（2）求双曲线的方程．

正确答案

（1）（2）

试题分析：（1）由题意抛物线的方程为,

把代入方程，得,

因此，抛物线的方程为． ……6分

（2）抛物线的准线方程为，所以，，而双曲线的另一个焦点为，

于是因此.

又因为，所以，

于是，双曲线的方程为. ……12分

点评：求圆锥曲线的标准方程通常用待定系数法，找清楚焦点的位置，开口等，代入条件求解即可.

题型：填空题

填空题

双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则该双曲线两条渐近线所夹的锐角的取值范围是。

正确答案

略

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