双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

∵|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，

而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，

∴有c-a≤2a，

∴1＜e≤3，

故答案为（1，3]．

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题型：填空题

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填空题

设连接双曲线-=1与-=1(a＞0，b＞0)的4个顶点的四边形面积为S1，连接其4个焦点的四边形面积为S2，则的最大值为______．

正确答案

设双曲线-=1的右顶点为A，其坐标是（a，0），由焦点为C，坐标为(，0)；

设双曲线-=1上顶点为B，坐标为（0，b），上焦点为D，坐标为(0，)．O为坐标原点．

则S1=4S△OAB=2ab，S2=4S△OCD=2（a2+b2），

所以=≤=．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

已知平面内有一长度为4的定线段AB，动点P满足|PA|-|PB|=3，O为AB中点，则|OP|的最小值是______．

正确答案

以O为原点，以AB为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

由题意可知，点P是焦点在x轴，c=2，a=的双曲线的右支．

当P是双曲线的顶点时，|OP|有最小值．

答案：|OP|的最小值是．

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题型：简答题

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简答题

设双曲线C：-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且=．求a的值．

正确答案

（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解．消去y并整理得

（1-a2）x2+2a2x-2a2=0．①

所以

解得0＜a＜且a≠1．

双曲线的离心率

e==．

∵0＜a＜且a≠1，

∴e＞且e≠

即离心率e的取值范围为(，)∪(，+∞)．

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）

∵=，

∴(x1，y1-1)=(x2，y2-1)．

由此得x1=x2．

由于x1和x2都是方程①的根，且1-a2≠0，

所以x2=-．

x1•x2==-．

消去x2，得-=

由a＞0，所以a=．

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题型：简答题

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简答题

如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区．若在A地北偏东45°方向，距A地150海里处的M点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程；

问：

①应派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到0.1小时）

正确答案

设点P为边界线上的点，由题意知=+2，即PA-PB=60，

∴动点P到两定点A、B的距离之差为常数，

∴点P的轨迹是双曲线中的一支．…（3分）

由2c=200，2a=60得a=30，b2=1002-302=9100

∴方程为-=1（x＞0）…（6分）

①M点的坐标为M（50，150），A点的坐标为A（-100，0），B点的坐标为B（100，0），

∴|MA|=150≈212.1，|MB|=≈158.1，

∴|MA|-|MB|≈212.1-158.1=54＜60，

∴点M在A区，又遇险船向正北方向漂移，即遇险船始终在A区内，

∴应派A船前往救援…（8分）

②设经t小时后，A救援船在点N处与遇险船相遇．

在△AMN中，AM=150，MN=10t，AN=30t，∠AMN=135°…（9分）

∴(30t)2=(10t)2+(150)2-2•10t•150cos135°

整理得4t2-15t-225=0，

解得t=≈9.606或t=（舍）…（13分）

∴A救援船需9.6小时后才能与遇险船相遇．…（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的顶点在x轴上，两个顶点之间的距离为8，离心率e=

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求双曲线的焦点到其渐近线的距离．

正确答案

（1）由题意：2a=8，e==，

所以a=4，c=5，b==3，

所以双曲线方程为：-=1；

（2）双曲线的焦点坐标为（5，0），渐近线方程为y=x，即3x-4y=0，

所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为=3．

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题型：简答题

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简答题

椭圆焦点在x轴，离心率为，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

正确答案

设椭圆方程+=1（a＞b＞0），

∵e=，∴a2=4b2，即a=2b．

∴椭圆方程为+=1．

把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0．

设M（x1，y1）、N（x2，y2），则

x1+x2=，x1x2=（4-4b2）．

∴y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2=（1-4b2）．

由于OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0．

解得b2=，a2=．

∴椭圆方程为x2+y2=1．

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题型：简答题

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简答题

设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切．

（1）求C的圆心轨迹L的方程；

（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．

正确答案

解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（﹣，0）、F2（，0），

由题意得：|CF1|+2=|CF2|﹣2或|CF2|+2=|CF1|﹣2，

∴||CF2|﹣|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2=2c，

可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线，

因此a=2，c=，则b2=c2﹣a2=1，所以轨迹L的方程为﹣y2=1；

（2）过点M，F的直线l的方程为y=（x﹣），

即y=﹣2（x﹣），代入﹣y2=1，

解得：x1=，x2=，

故直线l与双曲线L的交点为T1（，﹣），T2（，），

因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，

故||MT1|﹣|FT1||=|MF|==2，

|MT2|﹣|FT2||＜|MF|=2，

若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|=2，

综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，

此时点P的坐标为（，﹣）．

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题型：简答题

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简答题

已知点A(-，0)和B(，0)，动点C与A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

正确答案

设点C（x，y），则|CA|-|CB|=±2．

根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线-=1．

由2a=2，2c=|AB|=2，得a2=1，b2=2．

故点C的轨迹方程是x2-=1．

由，得　x2+4x-6=0．

∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点．

设D（x1，y1）、E（x2，y2），则　x1+x2=-4，x1•x2=-6．

故|DE|===4．

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题型：简答题

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简答题

过双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（-2，0）、右焦点F2（2，0）分别作x轴的垂线，交双曲线的两渐近线于A、B、C、D四点，且四边形ABCD的面积为16．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设P是双曲线C上一动点，以P为圆心，PF2为半径的圆交射线PF1于M，求点M的轨迹方程．

正确答案

（1）由，解得y=，

由双曲线及其渐近线的对称性知四边形ABCD为矩形，故四边形ABCD的面积为4×=16

所以b=a，结合c=2且c2=a2+b2得：a=1，b=，

所以双曲线C的标准方程为x2-=1；

（2）P是双曲线C上一动点，故|PF1-PF2|=2，

又M点在射线PF1上，且PM=PF2，

故F1M=|PF1-PM|=|PF1-PF2|=2，

所以点M的轨迹是在以F1为圆心，半径为2的圆，

其轨迹方程为：（x+2）2+y2=4．

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