双曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角为______．

正确答案

设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点

双曲线斜率为正的渐近线方程为：y=x

而右准线为：x=

于是，渐近线与右准线的交点A，其横坐标就是，纵坐标可求出是：

y=

△OAF的面积若是以OF为底边计算的话，其上的高就是A点的纵坐标的绝对值，即：

∴S△OAF=|OF|••==

由题意有：=

∴a=b

∴双曲线两条渐近线就是：y=±x

∴两条渐近线相互垂直

∴它们的夹角很容易得出是90°

故答案为90°

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题型：简答题

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简答题

一条斜率为1的直线ℓ与离心率为的双曲线-=1(a＞0，b＞0)交于P、Q两点，直线ℓ与y轴交于点R，且•=-3，=4，求直线与双曲线方程．

正确答案

∵双曲线-=1(a＞0，b＞0)的离心率为，b2=2a2，

∴双曲线方程即：-=1，设直线ℓ方程：y=x+k，点R（0，k）

代入双曲线方程得：x2-2kx-k2-2a2=0，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），

则x1+x2=2k，则x1•x2=-k2-2a2，

∵•=-3，∴（x1，y1）•（x2，y2）=x1•x2+（x1+k）（x2+k）=2x1•x2+k（x1+x2）+k2

=2（-k2-2a2）+k•2k+k2=k2-4a2=-3 ①，

∵=4，

∴（x2-x1，x2-x1）=4（x2-0，x2+k-k），∴x1=-3x2②

把②代入根与系数的关系得：x1=3k，x2=-k，k2=a2，

再由①得：a=1，k=±1，

∴直线ℓ的方程为x-y-1=0 或x-y+1=0，

双曲线的方程：x2-=1．

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题型：填空题

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填空题

P是双曲线-=1的右支上一点，M．N分别是圆（x+10）2+y2=4和（x-10）2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为______．

正确答案

双曲线-=1中，

∵a=6，b=8，c=10，

∴F1（-10，0），F2（10，0），

∵|PF1|-|PF2|=2a=12，

∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|+|NF2|，

∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|，

所以，|PM|-|PN|≤|PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2|

=12+1+2

=15．

故答案为：15．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线的方程是16x2-9y2=144．

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．

正确答案

（1）由16x2-9y2=144得-=1，

∴a=3，b=4，c=5．焦点坐标F1（-5，0），F2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=±x．

（2）||PF1|-|PF2||=6，

cos∠F1PF2=

===0．

∴∠F1PF2=90°．

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题型：简答题

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简答题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，两条准线间的距离为1，F1，F2是双曲线的左、右焦点．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM•kPN的值．

正确答案

（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，

有：

解得a2=1，b2=3．

∴双曲线方程为x2-=1．

（Ⅱ）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N（-x0，-y0）．

设P（xP，yP），

则kPM•kPN=•=，

又x02-=1，

∴y02=3x02-3．

同理yP2=3xP2-3，

∴kPM•kPN==3．

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题型：简答题

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简答题

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

正确答案

（1）设双曲线方程为-=1，c2=a2+b2由，同向，

∴渐近线的倾斜角为（0，），

∴渐近线斜率为：k1=＜1∴==e2-1＜1，∴1＜e2＜2

∴|AB|2=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，

∴|AB|=2(|OB|-|OA|)∴

∴|OA|=|AB|∴|OA|2=|AB|2

可得：=，而在直角三角形OAB中，

注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan∠AOB

∴=，∴2k2+3k-2=0，∴k=(k=-2舍去)；

∴=∴==，∴e2=

∴e=

（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为-=1，c=b，

∴AB的直线方程为 y=-2（x-b），代入双曲线方程得：15x2-32bx+84b2=0，

∴x1+x2=，x1•x2=，

4=，16=-，

∴b2=9，所求双曲线方程为：-=1．

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题型：简答题

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简答题

已知A、B是双曲线C：-=1的左、右顶点，P是坐标平面上异于A、B的一点，设直线PA、PB的斜率分别为k1，k2．

求证：k1k2=是P点在双曲线C上的充分必要条件．

正确答案

证明：设P（x0，y0），易知A（-2，0），B（2，0）

（1）充分性：由k1k2=知：×=，

所以3x02-4y02=12，即-=1，

故点P在双曲线-=1上；

（2）必要性：因为点P在双曲线C上，

所以-=1，故y02=(x02-4)

由已知x0≠±2，故k1k2=×==

综上（1）（2）知k1k2=是P点在双曲线C上的充分必要条件．

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题型：填空题

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填空题

已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且•=0（O为原点），则-的值为______．

正确答案

设p（x1，y1）；Q（x2，y2）

∵•=0

∴kop*koq=-1即；y1y2=-x1x2联立两方程：（b-a）x2+2ax-a-ab=0

x1+x2=

x1x2=

y1y2=1-（x1+x2）+x1x2=-x1x2即2ab=b-a

∴1/a-1/b=2

-==2

故答案为2

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题型：填空题

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填空题

已知P是双曲线-=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A1，A2分别为双曲线的左、右顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：

①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；

②若|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为；

③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a；

其中正确命题的序号是______．

正确答案

双曲线的渐进线为y=±x，准线方程为x=，代入渐进线方程得y=±=

∴准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为2×=故①正确．

∵|PF1|-|PF2|=2a=（e-1）|PF2|≥（e-1）（c-a），整理得（e-1）•（e-1）≤2，解得，e≤1+所以e的最大值是1+②不正确．

设△PF1F2的内切圆的圆心为O，内切圆切PF1于A点，PF2于B点，F1F2于C点，

因为是内切圆，所以有OA⊥PF1，OB⊥PF2，OC⊥F1F2，且PA=PB，AF1=F1C，BF2=CF2．因为OC⊥F1F2，即x轴，只要求出C点的横坐标，就等于求出了O点的横坐标．

由双曲线的性质可知

∵|PF1|-|PF2|=2a

∵|PF1|=|PA|+|AF1|，|PF2|=|PB|+|BF2|，

∴|PF1|-|PF2|=（|PA|+|AF1|）-（|PB|+|BF2|）=|CF1|-|CF2|=2a，

又∵|CF1|+|CF2|=2c，联立可得CF2=c-a，∵F2（c，0），

∴C（a，0）．

∴O点横坐标就为a，故③正确．

故答案为①③

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题型：填空题

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填空题

双曲线-=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为______．

正确答案

设点P（x，y），

∵F1（-5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，∴•=-1，

∴x2+y2=25 ①，

又-=1，

∴-=1，

∴y2=，

∴|y|=，

∴P到x轴的距离是．

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