热门试卷

（Ⅰ）设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则|r1-r2|=10①…（2分）

由余弦定理可得+-2r1r2•cos60°=(2)2②，

①2-②得r1r2=36…（4分）

∴S△F1PF2=r1r2sin60°=×36×=9…（6分）

（Ⅱ）由已知可设双曲线C的方程为-=λ(λ≠0)…（8分）

将点M(-3，5)坐标代入方程得：λ=-=-2…（10分）

∴双曲线C方程为：-=1…（12分）

解：（1）∵点P 在双曲线 上，

且它到双曲线一个焦点F的距离是1，

∴ =1，即c= ，

设双曲线方程为 ，

把点P 代入，得 ，

整理，得a4﹣5a2+4=0，解得a2=1，或a2=4（舍），

∴双曲线方程是x2﹣y2=1．

（2）∵双曲线方程是x2﹣y2=1，∴F（ ），

∴直线L1的方程是： ，

由 ，得（1﹣k2）x2+ ，

当k=±1时，直线 与双曲线的渐近线平行，弦长为0，成立．

当k≠±1时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ，

|AB|= ≤4，

∴（1+k2） ≤16，

整理，得3k4﹣10k2+3≥0，解得k2≥3，或 ，

∴ ，或 ，或 ，

综上所述，L1的斜率的取值范围是{k| ，或 ，或 ，或k=±1}．

设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1

（1）当k存在时有

得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0    （1）

当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有

△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，k＜   

又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标

∴x1+x2=    又M（1，1）为线段AB的中点

∴=1   即=1   k=2 

∴k=2，使2-k2≠0但使△＜0

因此当k=2时，方程（1）无实数解

故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．

（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，

综上，符合条件的直线l不存在

（1）c=2c2=a2+b2∴4=a2+3a2∴a2=1，b2=3，∴双曲线为x2-=1．

（2）l：m（x-2）+y=0由得（3-m2）x2+4m2x-4m2-3=0

由△＞0得4m4+（3-m2）（4m2+3）＞012m2+9-3m2＞0即m2+1＞0恒成立

又＞0

＞0

∴m2＞3∴m∈(-∞，-)∪(，+∞)

设A（x1，y1），B（x2，y2），则==-+2m=

∴AB中点M(，-)

∵3(-1)2-=3×-=3•=3

∴M在曲线3（x-1）2-y2=3上．

（3）A（x1，y1），B（x2，y2），设存在实数m，使∠AOB为锐角，则•＞0

∴x1x2+y1y2＞0

因为y1y2=（-mx1+2m）（-mx2+2m）=m2x1x2-2m2（x1+x2）+4m2∴（1+m2）x1x2-2m2（x1+x2）+4m2＞0

∴（1+m2）（4m2+3）-8m4+4m2（m2-3）＞0即7m2+3-12m2＞0

∴m2＜，与m2＞3矛盾

∴不存在

假设存在题设中的直线m．---------1′

设直线m的方程为y-1=k（x-1），-----------2′

由----------4′

得（2-k2）x2+2k（k-1）x-k2+2k-3=0

设B（x1，y1）、C（x2，y2）--------6′，

则x1+x2==2，解得：k=2-------------11′

此时，△＜0，所以k=2时，直线m与双曲线不相交，

故假设不成立，即题中的直线m不存在．--------------13′