热门试卷

解：（1）设双曲线E的方程为，

则，

由BD=3DC，得，即c=2a，

∴，

解之得a=1，

∴，

∴双曲线E的方程为。

（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使，

设直线的方程为x-m=ky，

，

由，得，

即，①

∵，，

∴，

即，②

把①代入②，得，③

把x-m=ky代入并整理得，

其中且△＞0，即且，

，

代入③，得，

化简得kmt=k，

当时，上式恒成立；

因此，在x轴上存在定点，使。

解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知

故曲线的方程为

设

由题意建立方程组

消去y，得

又已知直线与双曲线左支交于两点，有

解得

又∵

依题意得

整理后得

∴或

但

∴

故直线AB的方程为

设

由已知

得

∴，

又，

∴点

将点C的坐标代入曲线E的方程，得

得

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴

C点的坐标为

C到AB的距离为

∴的面积。

解：（1）因为A，B两点关于x轴对称，

所以AB边所在直线与y轴平行

设，由题意得

∵

∴

所以点M的轨迹W的方程为

（x＞0）；

（2）假设存在，设

或x=2

当直线时，由题意，知点P，Q的坐标是方程组

的解

消去y得

所以且

∵直线与双曲线的右支（即W）相交两点P，Q

∴，

即 ①

∵

∴

要使，则必须有

解得代入①不符合

所以不存在直线l，使得

当直线l：x=2时，

，不符合题意

综上：不存在直线l，使得。

解：（1）由题意，知双曲线C的焦点在x轴上，且c=2，a=，

∴b=1，

∴双曲线C的方程为。

（2）由题意，设，，

将直线l：代入双曲线，有

，

∵直线l与双曲线C恒有两个不同的交点A，B且，

∴，

，，

，

，

∴即，

化简，得：，

即或，

∴k的取值范围是{k|或}。

解：（1）根据题设条件，，

设点M（x，y），则x、y满足，

因，解得，

故，

利用，得，于是，

因此，所求双曲线方程为；

（2）设，

则直线l的方程为，

于是两点坐标满足，

将（1）代入（2）得

，

由，上面方程可化简为

，

由已知，显然，

于是，

因为，得；

同理，两点坐标满足，

可解得，

所以，故直线DE垂直于x轴。

解：（1）直线PA和PB的斜率分别为与

依题意有

即

所求点P的轨迹方程为；

（2）令E（x1，y1），F（x2，y2），

设过点Q（2，0）的直线为y= k（x-2），

把它代入

得

由韦达定理，得

∴

当直线斜率不存在时，可得E、F的坐标为

此时

故为常数-1。