热门试卷

解：(1)设C(x，y)，因为，

则(x，y)=m(1，0)+n(0，-2)，

∴，

∵m-2n=1，

∴x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y-1=0．

(2)由得，

由题意知，

设，则，，

因为以MN为直径的圆过原点，

∴，

即，

∴，

即，

∴为定值．

(3)∵，

∴，

∵，

∴，

∴，及，∴，

从而0＜2a≤1；

∴双曲线实轴长的取值范围是(0，1]。

解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，

如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：

依题意有

由得

∴

由得

若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故

∴

由

或

（i）当k=0时，由（1）得

由（2）得

由

即

故l的方程为

（ii）当b=0时，由（1）得

由（2）得

由

即

故l的方程为

再讨论l与x轴垂直的情况

设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得

由

即

故l的方程为

综上所述，故l的方程为，和。

解：（1）∵l与圆相切

∴

∴m2=1+k2由得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0

∴

∴k2＜1，

∴-1＜k＜1

故k的取值范围为（-1，1）

由于

所以

∵0≤k2＜1

∴当k2=0时，x2-x1取最小值。

（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0）

∴

∴

由（1）得m2-k2=1

∴为定值。

解：设点C（x，y），则，

根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线，

由，得，

故点C的轨迹方程是，

由，得，

因为△＞0，所以直线与双曲线有两个交点。

设，

则，

故。

解：（1）由条件有 

∴

∴， 

故双曲线C的方程为：；

（2）设

∵

∴

又

∴

即，

又由余弦定理有：，

即

∴，

故；

（3）由

则由条件有：是①

设中点，

则，

又M，N在以A（0，-1）为圆心的圆上，

∴，

化简得：②

将②代入①得：解得m<0或m>4，

又由

∴，

综上：或m>4。

解：（Ⅰ）设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0），

由题设得，解得，

所以双曲线方程为．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），

点的坐标满足方程组，

将①式代入②式，得，

整理得，

此方程有两个不等实根，于是，且，

整理得，　③

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标满足，，

从而线段MN的垂直平分线方程为，

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，

由题设可得，

整理得，k≠0，

将上式代入③式得，

整理得，k≠0，

解得或，

所以k的取值范围是．

解：（Ⅰ）由|PM|-|PN|=知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

实半轴长，

又半焦距c=2，故虚半轴长，

所以W的方程为。

（Ⅱ）设A，B的坐标分别为（），，

当AB⊥x轴时，，

从而；

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，

与W的方程联立，消去y得，

故，

所以=

==

=，

又因为，

所以，从而，

综上，当AB⊥x轴时，取得最小值2。

解：（Ⅰ）依题意知C的两条渐近线相互垂直，且F2点到任一条渐近线的距离为2，

，

故双曲线C的方程为。  

（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下：

当直线l的斜率不存在时，结论不成立；

当直线l斜率存在时，设其方程为，

并设、，

由知，

，

则， 

故

这不可能；

综上可知，不存在这样的直线。                

解：（1）由题意，设双曲线的标准方程为，

由已知得：，

∵的面积为1，

∴，

∴，

∴b=1，a=2，

∴双曲线C的标准方程为。

（2）设，

联立 ，

显然，

否则直线l与双曲线C只有一个交点，

，

则，

又，

∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2，0)，

∴，

∴，

∴，

化简整理得，

∴，且均满足，

当时，直线l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；

当时，直线l的方程为，直线过定点（，0）；

∴直线l定点，定点坐标为（，0）。