热门试卷

解：（1）∵右准线方程为，

∴

又∵右焦点与右顶点到渐近线的距离之比为

∴

∴

∴

∴双曲线C的方程为。

（2）假设存在A，B两点，使得原点O到直线AB的距离为。

①当AB⊥x轴时，

∵原点O到直线AB的距离为

∴或

∴。

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m

由得

则△=

即

设，

由根与系数的关系得

∴

∵原点O到直线AB的距离为

∴

∴m2=

∵

∴

∴k∈R

∴

当k≠0时

当k=0时，

∴。

解：（1）由题意，得

解得

∴

∴所求双曲线C的方程为。

（2）点P（x0，y0）（x0y0≠0）在圆上，切线方程为

由及

得

∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且

∴，且

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则

∵

∴cos∠AOB=0，

又∵∠AOB∈（0，π），

∴∠AOB的大小为定值。

解：(Ⅰ)设P(x，y)，则，

化简得。

(Ⅱ)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k(x-2)(k≠0)，

与双曲线方程联立消去y得(3-k2)x2+4k2x-(4k2+3)=0，

由题意知，3-k2≠0且△＞0，

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则，

，

因为x1，x2≠-1，所以直线AB的方程为，

因此M点的坐标为，

同理可得，

因此

；

②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2，则B(2，3)，C(2，-3)，

AB的方程为y=x+l，因此M点的坐标为，，

同理可得，

因此，

综上，，即FM⊥FN，

故以线段MN为直径的圆过点F。

解：（1）∵A（a，0），B（0，﹣b），

∴设直线AB：

∴，∴，

∴双曲线方程为：．

（2）∵双曲线方程为：，

∴，设P（x0，y0），

∴，，

∴==3．

B（0，﹣3）B1（0，3），

设M（x1，y1），N（x2，y2）

∴设直线l：y=kx﹣3，

∴，

∴3x2﹣（kx﹣3）2=9．（3﹣k2）x2+6kx﹣18=0，

∴

k2=5，即代入（1）有解，

∴．

（1）解：直线PA和PB的斜率分别为与，

依题意，有，

即，

所以，点P的轨迹方程为。

（2）证明：设，

设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），

将它代入，得，

由韦达定理，得，

∴

当直线斜率不存在时，可得E、飞坐标分别为（2，），（2，-），

∴=-1；

故为常数-1.

解：（1）依题意，设该双曲线的方程为：，

则，

∴双曲线的方程为。

（2）由题设知直线AB的方程为，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由得，

∴，

∴。

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知b=1，

故曲线E的方程为，

设，由题意建立方程组，

消去y，得，

又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，

有，解得，

（Ⅱ）∵

，

依题意得，

整理后得，

∴，

但，

∴，

故直线AB的方程为，

设，由已知，得，

∴，

又，

∴点，

将点C的坐标代入曲线E的方程，得，得m=±4，

但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意；

∴m=4，点C的坐标为，

C到AB的距离为，

∴△ABC的面积。

解：(Ⅰ)依题意，可设双曲线C的方程为，

由已知得C的一个焦点，

所以C的另一个焦点为，

由，

得，

又a=2，

所以，，

所以，双曲线C的方程为。

(Ⅱ)关于双曲线C的类似命题为：过双曲线的焦点F1(2，0)作与x轴不垂直的任意直线l交双曲线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是。

证明如下：由于l与x轴不垂直，可设直线l的方程为：y=k(x-2)，

①当k=0时，l与x轴重合，，命题正确；

②当k≠0时，由得，

依题意l与C有两个交点A，B，所以，，

设，

则，，

所以线段AB的中点P的坐标为，

AB的垂直平分线MP的方程为：，

令y=0，解得：，

即，所以，，

又

，

所以，。

(Ⅲ)过圆锥曲线E的焦点F作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线l交E于A，B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，则为定值，定值是（其中e为圆锥曲线E的离心率）。